Vectores, Rectas y Circunferencias en el Plano Cartesiano

Vectores en el Plano Cartesiano

Definición de Vector Fijo

Un vector fijo es un segmento. Se representa por OA. El punto O es el origen y el punto A es el extremo.

Características de un Vector

• Módulo: Es su longitud. Se representa por |OA|.
• Dirección: Es la dirección de la recta que lo contiene.
• Sentido: Es el que va del origen al extremo.

Cálculo del Módulo y Argumento de un Vector

Módulo de un vector: Es su longitud. Para calcularlo se aplica el teorema de Pitágoras.

Argumento de un vector: Es el ángulo que forma el semieje positivo X con el vector. Para calcularlo se aplica la definición de tangente.

Operaciones con Vectores

Suma y Resta de Vectores

Para sumar y restar vectores analíticamente, se suman o restan sus componentes.

Producto de un Número por un Vector

Para multiplicar un número por un vector analíticamente, se multiplica el número por las componentes del vector.

Componentes de un Vector Definido por Dos Puntos

El vector definido por dos puntos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂) es el que se obtiene al restar el vector de posición del extremo menos el del origen. AB = OB - OA ⇒ AB = (x₂-x₁, y₂-y₁)

Rectas en el Plano Cartesiano

Vector Director y Pendiente de una Recta

Vector director: De una recta es un vector paralelo a la recta, tiene la misma dirección que la recta.

Pendiente de una recta: Es la tangente del ángulo que forma el semieje positivo de las X con la recta, la tangente del ángulo del vector director de la recta.

Vector Normal a una Recta

Un vector normal a un vector es un vector perpendicular a dicho vector. Dado el vector v(v₁,v₂) un vector normal es n(-v₂, v₁), las componentes se cambian de orden y una de ellas se cambia de signo.

Ecuación Punto-Pendiente de una Recta

Es la ecuación de una recta en la que se conoce un punto A(x₁,y₁) y la pendiente m. Es: y = m(x - x₁) + y₁

Posiciones Relativas de Dos Rectas

Rectas secantes: Si tienen un único punto en común. Sus pendientes no son proporcionales.

Rectas paralelas: No tienen ningún punto en común. Los coeficientes de las variables son proporcionales y no lo son los términos independientes.

Rectas coincidentes: Si son la misma recta. Todos los coeficientes, incluyendo el término independiente, son proporcionales.

Rectas perpendiculares: Sus pendientes son inversas y de signo opuesto (el producto de sus pendientes es -1).

Distancia Entre Dos Puntos

Para calcular la distancia entre dos puntos se utiliza la fórmula de la distancia euclidiana.

Circunferencia en el Plano Cartesiano

La circunferencia de centro C(a, b) y radio R es el lugar geométrico de los puntos del plano P(x, y) cuya distancia al centro C es R.