Variaciones, Permutaciones y Combinaciones

También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:

Las variaciones se denotan por

Ejemplos
1. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.

2. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?
m = 5, n = 3, m ? n
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

3. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit. ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar?
m = 10, n = 3
No entran todos los elementos. De 10 candidatos entran sólo 3.
Sí importa el orden. No es lo mismo quedar ganador que finalista.
No se repiten los elementos. Suponemos que cada candidato presenta una sola obra.

Variaciones con repetición

Se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ? n
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
Ejemplos
1. ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?
m = 5, n = 3
No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
Sí se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

Permutaciones

Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Ejemplos

1.Calcular las permutaciones de 6 elementos.

P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

2. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.
m = 5, n = 5.
Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran 5.
Sí importa el orden. Son números distintos el 12345, 24531, 54321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

Permutaciones circulares

Es un caso particular de las permutaciones. Se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los comensales en una mesa), de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.

Ejemplos
1. Calcular las permutaciones circulares de 7 elementos.
PC7= (7 ? 1)! = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

Permutaciones con repetición

Permutaciones con repetición de m elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces , el tercero c veces, ...(m = a + b + c + ... = n) son los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que :
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.

Ejemplos

1.

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
m = 9, a = 3, b = 4, c = 2, a + b + c = 9
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.


2. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.

Combinaciones

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ? n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
Las combinaciones se denotan por

Ejemplos

1. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4.


2. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.

Combinaciones con repetición

Las combinaciones con repeticiónde m elementos tomados de n en n (m ? n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
Sí se repiten los elementos.


Ejemplo:
En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas? No entran todos los elementos. Sólo elije 4.. No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís. Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.

Ejercicios Resueltos

Ejemplo 1: Rutas de viaje
Dos caminos unen a las ciudades A y B, cuatro unen a B y C, y cinco unen a las ciudades C y D. Para conducir de A a B, luego a C y por ultimo a D, ¿Cuántas rutas diferentes son posibles? Este es un proceso por etapas. La primera de A?B tiene dos posibilidades, la segunda de B?C tiene cuatro y la tercera de C?D tiene cinco. Por el principio multiplicativo de conteo, el número total de rutas es 2 x 4 x 5 = 40.

Ejemplo 2: Respuestas de examen
¿De cuántas maneras puede ser respondido un examen bajo cada una de las siguientes condiciones?
a.El examen consiste en tres preguntas de opción múltiple con cuatro opciones para cada una. Responder de manera sucesiva las tres preguntas es un proceso de tres etapas. La primera pregunta puede ser respondida de cualquiera de cuatro formas. Del mismo modo, cada una de las otras preguntas puede ser respondida en cuatro formas. Por el principio multiplicativo de conteo el número de maneras para responder el examen es: 4 x 4 x 4 = 4^3 = 64. b.El examen consiste en tres preguntas de opción múltiple (con cuatro opciones para cada una) y cinco preguntas de falso-verdadero. Responder el examen puede ser considerado como un proceso de dos etapas. Primero podemos responder las preguntas de opción múltiple (ésta es la primera etapa), y después responder las preguntas de falso-verdadero (la segunda etapa). De la parte (a), las preguntas de opción múltiple pueden ser respondidas de 64 formas. Cada una de las preguntas de falso-verdadero tiene dos opciones (falso o verdadero), de modo que el número total de maneras de responder las cinco preguntas es 2 x 2 x 2 x 2 x 2. Por el principio multiplicativo de conteo, el número de maneras en que todo el examen puede ser respondido es: (4 x 4 x 4)( 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 4^3 x 2^5 = 2.048.

Ejemplo 3: Funcionarios de un club
Un club tiene 20 miembros. Los cargos de presidente, vicepresidente, secretario y tesorero deben ser cubiertos y ningún miembro puede servir en más de un cargo. ¿Cuántas listas diferentes de candidatos son posibles? Consideremos una lista de candidatos en el orden de presidente, vicepresidente, secretario y tesorero. Cada ordenamiento de cuatro candidatos constituye una lista de candidatos, de modo que el número de posibles listas 20P4. De la ecuación de permutación tenemos:


Ejemplo 4: Placas de automovil
En un estado, las placas de loas automóviles tienen 3 letras seguidas de 3 dígitos. ¿Cuántas placas se pueden hacer si:
a. Se permite repetir letras Se pueden hacer elecciones, una por cada letra o por cada dígito. Tracemos un cuadro para cada etapa:
En la primera etapa se elige una letra de 26 posibles; en la segunda etapa, otra letra (de nuevo entre 26 opciones); en la tercera etapa, otra letra (26 opciones); en la cuarta un digito de 10 posibles; en la quinta, un dígito (de nuevo de entre 10 opciones) y en la sexta etapa, otro digito (10 opciones). Según el principio multiplicativo de conteo, la cantidad de placas distintas es:
26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 17576.000 b. No se permite repetir letras
Si no se permite repetir letras, las opciones se pueden representar como sigue: En la primera etapa tenemos 26 letras para elegir, pero una vez seleccionada la primera letra, solo quedan 25 para elegir en la segunda etapa. Una vez elegidas las dos primeras, quedan 24 para elegir en la tercera etapa. Los dígitos se determinan como antes. Así, la cantidad de placas distintas en este caso es:
26 x 25 x 24 x 10 x 10 x 10 = 15600.000

Ejemplo 5: Los seis corredores
¿De cuantas formas distintas puede terminar una competencia entre seis corredores? (Suponga que no hay empates.) Hay seis opciones distintas para el primer lugar, cinco para el segundo, porque después de haberse decidido el primer lugar solo quedan cinco corredores, hay cuatro opciones para el tercer lugar, y así sucesivamente. De acuerdo con el principio multiplicativo, la cantidad de opciones distintas en la que puede terminar esta carrera es:
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Ejemplo 6: Las pelotas
Calcule el número de formas distintas en que se pueden colocar 15 pelotas en una fila, si cuatro son rojas, tres son amarillas, seis son negras y dos son azules. Se trata de determinar el número de permutaciones distinguibles de esas pelotas. De acuerdo con la formula de permutación con repetición, ese número es:


Ejemplo 7: Miembros del club
Un club tiene nueve miembros, ¿De cuantas formas se puede elegir un comité de tres miembros entre los nueve del club? Se necesita calcular el número de formas de elegir tres miembros de los nueve. En este caso no importa el orden, porque el comité será igual sin importar como se ordenan sus miembros. Así, se desea conocer el número de combinaciones de nueve objetos (los miembros del club) tomados de tres en tres. El número es:

Se necesita calcular el número de formas de elegir tres miembros de los nueve. En este caso no importa el orden, porque el comité será igual sin importar como se ordenan sus miembros. Así, se desea conocer el número de combinaciones de nueve objetos (los miembros del club) tomados de tres en tres. El número es: BINOMIO DE NEWTON

Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener

Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de (a+b)

Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia

Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los números combinatorios desde los de numerador 1.
O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:

Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tiene encima.

Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:

Por ejemplo si quiero calcular

Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario.

Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.

Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton

que también se puede escribir de forma abreviada así:

Ejemplos:
1) Desarrollar la potencia

La fila 15 del triángulo de Tartaglia es: 1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005, 6435, 6435, 5005, 3003, 1365, 455, 105, 15, 1
Que serán los valores de los coeficientes.

2) Calcular sin desarrollar el termino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de:
(a²+3/b)¹⁰⁰

El primer término tiene de coeficiente , el segundo , el tercero , etc.
Por tanto el término de lugar 50 será:
= 98913082887808032681188722800.=

En general el término de lugar k+1 en el desarrollo de es

Ejercicios
3) Si el segundo término de un desarrollo de la potencia de un binomio es: ¿Cuál es el término penúltimo? ¿Y cuál es el binomio y su potencia?
El penúltimo término será el de lugar 12, pues habrá 13 términos y vale:
El binomio y su potencia será

4) Hallar el término medio del desarrollo de
Como está elevado a 14 habrá 15 términos, por tanto el término que está en medio es el de lugar 8, tiene 7 por delante y 7 por detrás.

Vamos a desarrollarlo:

5) Escribe el término que contiene x³¹ en el desarrollo de:
El término de lugar k+1, como hemos dicho antes, tiene esta forma:
Veamos como quedan las potencias x y de y: Dividiendo las potencias de la misma base, restando los exponentes tenemos:
Por tanto el exponente de x es 40-3k. Como queremos obtener x³¹, basta igualar 40-3k=31, de donde k=3. Se trata por tanto del término de lugar 4.
Ahora escribimos el término completo.