Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad: Conceptos Clave

T3.- Variable Aleatoria

Una variable aleatoria (v.a.) es una función del conjunto de los resultados de un experimento aleatorio en el cuerpo de los números reales.

• Variable discreta: la que su conjunto imagen es un subconjunto de R finito o infinito numerable, representan datos obtenidos por recuento.
• Variable continua: aquella en la que su conjunto imagen es uno o más intervalos de R, surgen en conexión con datos de medida.

Función de Probabilidad de una Variable Aleatoria

Función que asigna una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X.

• Función de probabilidad de una v.a. discreta: X x1 x2….xn y P p1 p2 ….pn tal que pi=P(X=xi)>=0, para todo i=1,2,…n y p1+p2+…+pn=1
• Función de probabilidad de una v.a. continua: Función f(x), llamada función de densidad (de probabilidad), tal que f(x)>=0, ∫-∞+∞ f(x)dx=1.

Función de distribución de una v.a continua: Función F(x) dada por F(x)=P(X≤x)=∫-∞x f(x)dx, puesto que para una v.a continua X se tiene que P(X=x)=0, entonces F(x)=P(X≤x)=P(X<x). Esta función verifica las siguientes propiedades:

1. F(-∞)=0
2. F(+∞)=1
3. P(a<X≤b)=F(b)-F(a)

Distribuciones de Probabilidad Importantes

Distribución Binomial

Experimento de Bernoulli: Experimento aleatorio con 2 resultados posibles: éxito y fracaso, con probabilidades respectivas p y q = 1-p.

Función de probabilidad de X:

1. Probabilidad de obtener en n ensayos independientes, r éxitos consecutivos seguidos de n-r fracasos consecutivos.
2. Probabilidad de obtener r éxitos y n-r fracasos en n ensayos independientes
3. Nº de formas posibles de obtener r éxitos y n-r fracasos en n ensayos.

De todas estas posibilidades se deduce que P(X=r)=(nCr) * p^r * q^(n-r) siendo r=0,1,…,n.

Características:

1. Media o esperanza matemática: E(X)=np
2. Varianza: V(X)=npq
3. Reproducibilidad: Si X e Y son 2 v.a independientes con distribuciones respectivas B(n1,p) y B(n2,p), entonces X+Y->B(n1+n2,p)

Distribución de Poisson

X: nº de sucesos independientes que ocurren a velocidad constante en el tiempo o en el espacio, se emplea para aproximar la función de probabilidad binomial cuando n es grande y p pequeña. Función de probabilidad de X P(X=r)=e-λ * (λ^r / r!)

Características:

1. Media o esperanza matemática: E(X)=λ
2. Varianza: V(X)=λ
3. Reproducibilidad: X+Y->P(λ1+λ2)

Distribución Hipergeométrica

De una población finita con N objetos, k de un tipo y N-k de otro, se seleccionan n de estos. X: nº de objetos, entre los seleccionados, del primer tipo-> H(N,n,k)

Características de la distribución binomial:

1. Media o esperanza matemática E(X)=(nk/N)
2. Varianza V(X)= [(N-n)/(N-1)]*[(nk(N-K))/ N^2]
3. Si n/N<0.1, la distribución H(N,n,k) se aproxima a una B(n,p) con p=k/N.

Distribución Normal

Distribución de variable aleatoria continua. Una v.a X se encuentra normalmente distribuida con parámetros μ y σ (X~N(μ,σ)); Y=aX+b => Y~N(aμ+b,|a|σ)

1. La combinación lineal de v.a normales e independientes tiene distribución normal.
2. Teorema central del límite: Sean X1,X2,..Xn n v.a independientes e idénticamente distribuidas con una distribución de probabilidad no especificada y con una media μ y una desviación típica σ. Entonces la v.a X1+X2+..+Xn tiene una distribución con media nμ y desviación típica σ√n que tiende hacia una distribución normal conforme n tiende a ∞.

Aplicación teorema de Moivre: si X es una v.a con distribución B(n,p), entonces [(X-np)/√(npq)]~N(0,1)

Distribuciones Asociadas a la Distribución Normal, Distribución χ² de Pearson

Si X1,X2,…Xn son v.a. i.i.d con distribución N(0,1), entonces la v.a Y=X1²+X2²+…+Xn²

Características:

1. Media o esperanza matemática: E(Y)=n
2. Varianza: V(Y)=2n

Distribución t de Student

Si X1 y X2 son dos v.a independientes tales que X1~N(0,1) y X2~χ²(n), entonces la v.a. Y=[(X1/√(X2/n)]

Características de la distribución t:

1. Esperanza matemática o media: E(Y)=0
2. Varianza V(Y)=n/(n-2)
3. La distribución t con n grados de libertad se aproxima a una distribución N(0,1) conforme n crece.

Distribución Exponencial

Si una v.a Y definida "Numero de ocurrencias de un suceso en el tiempo" sigue una distribución de Poisson de parámetro λ, entonces la v.a X="tiempo transcurrido entre dos ocurrencias consecutivas del suceso" sigue una distribución exponencial de parámetro λ (X~Exp(λ)).

Función de densidad de X f(x)={ λe^(-λx), x>0; 0, x≤0}

Características:

1. Media o esperanza matemática E(X)=1/λ
2. Varianza: V(X)=1/λ²