Tipos de Vigas y Métodos de Cálculo en Estructuras Hiperestáticas

Tipos de Vigas y Métodos de Cálculo en Estructuras

Vigas Isostáticas

Una viga isostática tiene los vínculos estrictamente necesarios. Solo existen dos tipos de vigas, pero infinitas combinaciones entre ellas (ménsula y biapoyada).

Estructuras Hiperestáticas

Una estructura hiperestática es aquella en la que el número de incógnitas es mayor al número de ecuaciones. Las reacciones exteriores son las que hacen que exista equilibrio en una estructura. Grados que incrementan los apoyos:

• El apoyo móvil incrementa 1 grado → Eje X
• El apoyo fijo incrementa 2 grados → Ejes X e Y
• El empotramiento incrementa 3 grados → Ejes X, Y, momentos

Ejemplos de grados de hiperestaticidad:

Para resolver la hiperestaticidad en una viga, hay que seguir los siguientes pasos:

1. Liberar la estructura con el fin de liberar los vínculos hiperestáticos, sustituyéndolos por sus reacciones y convirtiendo la estructura en isostática.
2. Imponer las condiciones de movimiento precisas para que el sistema sea equivalente al inicial.

Vigas Continuas

Una viga continua está constituida por sucesivos vanos apoyados simplemente. El número de apoyos intermedios coincide con el grado de hiperestaticidad de la estructura. La viga continua obliga a que en cada apoyo el giro de la izquierda sea igual al giro de la derecha.

Vigas Gerber

Una viga Gerber es una viga continua que se utiliza para reducir el grado de hiperestaticidad, llegando así a una viga isostática, añadiendo articulaciones a la viga. De esta forma, los asientos no entran en carga en toda la estructura.

Normas:

• En los vanos extremos no puede existir más de una articulación.
• Si en los vanos extremos hay una articulación, en los adyacentes no puede haber articulación alguna.
• En los vanos intermedios no puede haber más de dos articulaciones.
• Si en los vanos intermedios hay dos articulaciones, en los adyacentes no puede haberlas.

Teorema de los Tres Momentos o Clapeyron

Consiste en obtener una expresión que, en vigas continuas, nos permite obtener una ecuación de cada apoyo intermedio, igualando los giros de la derecha y de la izquierda.

Método de Cross para el Cálculo de Estructuras

Para el cálculo de estructuras consistentes en pórticos planos, en la época en la que no existían ordenadores, era necesario un método que no precisara la resolución de los grandes y complicados sistemas de ecuaciones que se generan en la resolución de estructuras hiperestáticas. En el año 1930, Hardy Cross expuso el método de aproximaciones sucesivas. Las operaciones se reducían a sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. No es preciso recordar más que ciertos conceptos, consistentes en las expresiones de algunos momentos flectores, factores de rigideces y de transmisión. No consiste en un método aproximado, pues el grado de precisión depende de la intención del calculista. Por otra parte, da un sentido físico muy claro a las operaciones que se realizan. Por ello, se expone una breve noticia del procedimiento que ayudará a comprender el funcionamiento de las estructuras.

1. Pares de Empotramiento

M_a y M_b son las acciones que ejercen los vínculos exteriores (empotramientos) sobre la pieza y se denominan pares de empotramiento. Según el convenio de signos “anti-horario”, el momento en A es positivo, mientras que en B es negativo. Como los momentos flectores en los empotramientos son negativos, para pasar de momentos flectores a pares de empotramiento, solamente es preciso cambiar el signo al momento de la izquierda y mantener el signo al de la derecha. M_a y M_b tienen signo negativo en los apoyos y positivo en el tramo intermedio.

2. Nudo Rígido

En un nudo en el que concurran barras empotradas, en el que exista un momento M, las barras se deformarán como se indica en la figura. Las tangentes a la deformada forman un ángulo α con la posición inicial de las barras.

Se dice que un nudo es rígido cuando los ángulos girados por todas las piezas son iguales: θ₁ = θ₂ = θ₃ = . . . = θ_n. Esto ocurre en las estructuras de hormigón y en aquellas estructuras metálicas en las que se ha asegurado la rigidez de los nudos. Por tanto, podemos aislar una barra y asimilarla al estudio de una barra articulada-empotrada sometida a un momento en el apoyo A.

3. Factores de Transmisión

Al aplicar un par de empotramiento M_a a la viga en A, se produce una deformación por flexión que genera un par de empotramiento del mismo signo en B. En el diagrama de flectores de la figura, el momento flector en un punto de abscisa x será:

Por semejanza entre triángulos bc=ac-cd

En virtud del segundo teorema de Möhr, sabemos que la ordenada desde el punto A de la deformada a la tangente a la tangente en B es cero, de forma que aplicando el segundo teorema tenemos que:

Sustituyendo M(x) por su valor:

Colocando los momentos a la izquierda y el resto a la derecha:

Llamamos a la relación M_a/M_b = τ, “factor de transmisión”, que representa la parte del momento que la viga transmite desde el apoyo en A al empotramiento en B, de manera que M_b = τ · M_a

Si las piezas son del mismo material y dimensión, se puede simplificar al desaparecer el factor de rigidez “EI”.

M_a/M_b = τ = 1/2, siendo M_a y M_b “pares de empotramiento”. A continuación, señalamos algunos valores en función de la vinculación exterior:

4. Rigidez

A continuación, vamos a obtener el ángulo θ girado en función del momento M_a. Aplicaremos el primer teorema de Möhr.

Para hallar ese ángulo, vamos a usar el 1^er teorema de Mohr.

Sustituimos M(x) por el valor obtenido anteriormente:

Sacando factor común a M_a y sustituyendo por su valor general:

Para que las unidades sean las de un ángulo, la expresión entre corchetes tiene que ser dimensiones 1/kg · m

*La ecuación puede expresarse como θ = M/K, siendo K la rigidez de la pieza. Por tanto, la rigidez de la pieza es el momento que hace girar el nudo un ángulo de un radián. Integrando:

En función de las vinculaciones exteriores, tenemos las siguientes rigideces:

5. Factor de Distribución o de Reparto

Cuando en un nudo actúa un momento M, este se reparte entre las barras de manera: M = M₁ + M₂ + M₃ + . . . + M_n

Cada barra gira un determinado giro θ, de forma que, según lo demostrado en el apartado anterior: θ₁ = M₁/K₁, θ₂ = M₂/K₂, θ₃ = M₃/K₃, … θ_n = M_n/K_n

Siendo M₁, M₂ y M₃ la porción de M que absorbe cada una de las vigas. Y debido a que si el nudo es rígido todos los ángulos girados han de ser iguales, tenemos que:

θ₁ = θ₂ = θ₃ = θ₄ = . . . θ_n, por lo tanto:

Esto quiere decir que la porción de momento que la barra 1 absorbe de M es M₁ = K₁ · M/ΣK_n, la que absorbe la barra 2 es M₂ = K₂ · M/ΣK_n, y la que absorbe la barra “n” es M_n = K_n · M/ΣK_n. A este factor r_n = K_n/ΣK_n se le denomina factor de reparto o de distribución. La suma de todos los factores de reparto debe ser igual a la unidad. Por tanto, en un nudo rígido en el que actúe un momento M, la porción de momento que se reparte a través de las vigas que concurren en el nudo, es decir, lo que se lleva cada una de ellas, es igual al momento que actúe en el nudo rígido por el factor de reparto de cada viga, “r”.