Teoría de Control: Componentes y Tipos de Sistemas
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Materia: Teoría de Control
Profesor: Andrés López
Sección: DCM602 II V1
Sistema de control
Es todo dispositivo o mecanismo encargado de regular o cumplir con una actividad o realizar un proceso.
Componentes básicos de un sistema de control
- Los objetivos de control → son las entradas o señales actuantes.
- El sistema de control propiamente dicho.
- La salida o variables controlados.
Sistema de una variable
Sistemas multivariables
Sistema de control a lazo abierto
Son sistemas donde el controlador no posee ningún tipo de información acerca del resultado del proceso, es un sistema no realimentado y por ende no se lo utiliza donde se necesite satisfacer condiciones de desempeño crítico.
Sistema de control a lazo cerrado
Son sistemas en los que el controladores posee información proveniente de la salida del proceso pudiendo realizar modificaciones en el proceso de manera de corregir cualquier discrepancia o inclusive detener el proceso para evitar daños, son sistemas realimentados.
Ganancia
El ancho de banda
Error
Ruido o señales no deseados
La estabilidad
La sensibilidad
La ganancia a lazo abierto
Y = X G1 G2
Ganancia = Y / X = G1 G2
A lazo cerrado
Y = X G1 G2 / 1+G1 G2 H
Ganancia = Y / X = G1 G2 / 1 + G1 G2 H
La ganancia de un sistema es la relación entre la entrada y la salida.
Ganancia = Salida / Entrada = Y / X
Al realimentar un sistema la ganancia siempre disminuye existen varios mecanismos para compensar la reducción de la señal de salida.
Ancho de Banda.
El ancho de banda se define como el rango de frecuencias donde la ganancia disminuye 3dB o menos.
Todo sistema contiene bobinas (inductores) y/o condensadores la reactancias inductiva o capacitiva depende de la frecuencia de operación por tanto la ganancia se verá también afectada por la frecuencia de operación, al realimentar un sistema el ancho de banda siempre se reducir, por lo que hay que trabajar alejado de las frecuencias de corte.
Para ciertos sistemas existen rango de frecuencias en las que la ganancia aumenta o disminuye más todavía.
Error:
Es la diferencia entre la señal de salida deseada y la obtenida. Al realimentar un sistema obtenemos una reducción significativa o inclusive que el error desaparezca completamente, esta es la característica más importante en la realimentación el ruido o señales no deseadas son señales no deseadas que afectan negativamente al sistema.
Lazo abierto
El ruido de salida = n G2
Lazo cerrado
Ruido a lazo cerrado = n G2 / G1+ G2 H
El ruido disminuye e inclusive se puede volver insignificante al realimentarlo.
Estabilidad:
Decimos que un sistema es estable si se predecible y sus salidas se mantienen dentro de ciertos limites pre-establecidos.
Un sistema que es inestable se puede volver estable al realimentarlo.
Un sistema que es estable se puede volver inestable al realimentarlo, pero si lo realimentamos nuevamente lo podemos hacer estables.
Ganancia inestable = G1 / 1+ G1 H1
Ganancia estable = G1 / 1 + G1 H1 + G1 H2
Sensibilidad:
Un sistema debe ser sensible a cambios en la señal de entrada e insensible a cambios internos del sistema, al realimentar el controlado puede corregir cualquier cambio que el sistema experimente, mejorando la sensibilidad del sistema a cambios únicamente en la señal de entrada.
Tipos de sistemas de control realimentados
Según el método de análisis y diseño.
- Lineales
- No lineales
- Variantes en el tiempo
- Invariantes en el tiempo
Lineales:
Son sistemas cuya repuesta es predecible y acotada, es decir, esta dentro de ciertos valores pre-establecidos.
No lineales:
Son sistemas donde la salida es impredecible o de carácter exponencial, logarítmico, no acotada.
Variables en el tiempo:
Son sistemas cuya características de importancia, cambian en un periodo de tiempo breve.
Ejemplo un avión o un cohete en vuelo consumen combustible por ende su masa disminuye, su peso se reduce, su centro de masa se mueve, etc.
Invariante en el tiempo:
Son sistemas cuyas características de importancia no se modifican en un periodo de tiempo breve.
Ejemplo un periodo de desgaste o consumo.
Según el tipo de señal.
Continuos
Discretos
Modulados
No modulados
Continuos:
Son sistemas cuya comunicación y supervisión tiene que ser constante, cualquier interrupción por breve que sea puede producir graves daños.
Discreto:
Ejercen supervisión durante breves intervalos de tiempo y durante el resto no, esto permite que un solo sistema controle varios procesos simultáneamente.
Modulados:
Son sistemas que se utilizan en ambientes ruidosos o para cubrir grandes distancias.
Modulación:
Es multiplicar nuestra señal (que por lo general esta a baja frcuencia) por un tono o frecuencia alta.
Ejemplo mensaje de voz, reproductor de carro, equipo de celular, canal de tv.
No modulados:
Se utilizan en distancias cortas o en ambientes libres de interferencias o ruidos. ejemplo hablar por telefono.
Según su propósito
De velocidad: que tan rapido lo hace.
De posicion: donde esta ubicado.
Funciones de transferencia
El primer paso para el análisis y diseño de un sistema de control es el modelado matemático de los procesos controlados.
Las forma clásico de modelar un sistema línea:l es utilizar su función de transferencia para representar la relación entre la variable de entrada y la variable de salida, una forma de obtener la función de transferencia es empleando la respuesta al impulso.
Respuesta al impulso
La respuesta al impulso es la señal de salida de un sistema cuando a la entrada tenemos una función impulso unitario.
La función de transferencia de un sistema lineal
Se define como la transformada de laplace de la respuesta al impulso con todas las condiciones iniciales iguales a cero.
Si G(s) denota la transformada de laplace de la función de transferencia de un sistema lineal con una entrada U(t) una salida Y(t) y respuesta al impulso g(t):
G(s) = L[g(t)]
G(s) = Y(s)/U(s)
Donde Y(s) y U(s) son transformadas de Laplace de Y(t) y U(t) respectivamente.
A menudo la función de transferencia se describe como una ecuación diferencial.
dnY(t)/dtn + an-1dn-1 Y(t)/dtn-1 + an-2dn-2 Y(t)/dtn-2 +…+ a1 dY(t)/dt+ a0 = bm dmU(t)/dtm + bm-1dm-1 U(t)/dtm-1 + bm-2 d m-2 U(t)/dtm-2 + b1 dU(t)/dt + b0
Aplicando la transformada de Laplace
[sn+ an-1Sn-1 + an-2Sn-2 +…+ a1 S+ a0 ] Y(s) = [bm Sm+ bm-1Sm-1 + bm-2Sm-2 +…+ b1 S+ b0 ] U(s)
Despejando
G(s) = Y(s)/U(s) =[bm Sm+ bm-1Sm-1 + bm-2Sm-2 +…+ b1 S+ b0 ] / [sn+ an-1Sn-1 + an-2Sn-2 +…+ a1 S+ a0 ]
Funciones de transferencia propias
Una función de transferencia es propia si el grado del polinomio del denominador es mayor al grado del polinomio del numerador (n>m).
Una función de transferencia se denomina impropia si el grado del polinomio del numerador es mayor al grado del polinomio del denominador (m>n).
Ecuación característica de una función de transferencia
La ecuación característica de una función de transferencia, se obtiene al igualar el polinomio del denominador a cero.
sn+ an-1Sn-1 + an-2Sn-2 +…+ a1 S+ a0 =0
Propiedades de las funciones de transferencia
- La función de transferencia esta definida únicamente para sistemas lineales e invariantes en el tiempo.
- La función de transferencia entre una variable de salida, esta definida como la transformada de laplace de la respuesta al impulso, con todas las condiciones iniciales iguales a cero.
- Todas las condiciones iniciales son iguales a cero.
- La función de transferencia es independiente de la entrada.
- La función de transferencia de un sistema en tiempo continuo, se expresa únicamente en función de la variable compleja S, no es función de ninguna variable real, de la variable tiempo, ni ninguna otra variable que este presente.
- La función de transferencia de un sistema en tiempo discreto, se expresa únicamente en función de la variable Z, cuando aplicamos la transformada Z.
Función de transferencia de sistemas multivariables
Para determinar la función de transferencia de sistemas multivariables, se aplica el teorema de superposición, se determina la función de transferencia para cada entrada individual, igualando las demás a cero y sumando todas las funciones de transferencia obtenidas en cada caso.