Teoremas Fundamentales del Cálculo: Bolzano, Weierstrass, Rolle y Valor Medio

Teorema de Bolzano

Si una función es continua en un intervalo [a, b] y toma valores de signo opuesto en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que f(c) = 0.

Interpretación geométrica

• Si una gráfica continua pasa de ser positiva a ser negativa (o viceversa), entonces atraviesa el eje de abscisas en al menos un punto.

Teorema de Weierstrass

Si una función es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces alcanza un valor máximo M y un valor mínimo m en ese intervalo.

Interpretación geométrica

Si una función es continua en [a, b], los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) pueden unirse por medio de una curva continua. Así, se obtienen dos puntos X₁ e Y₂ del intervalo [a, b], en los que la función toma, respectivamente, el menor y el mayor valor posible dentro de ese intervalo.

Derivada en un punto

Se llama derivada de una función f en el punto a al siguiente límite, si es que existe:

Si el límite existe, se dice que la función es derivable en el punto a. La derivada de una función en un punto es un número real.

Interpretación geométrica

La derivada de una función f en un punto a es igual a la pendiente de la recta tangente a la función f en ese punto a.

Demostración

Si consideramos la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)), vemos que tiene por pendiente, f(a+h)-f(a)/h, pero si h se acerca a 0, esta recta se acerca a la recta tangente, por tanto:

Teorema de Rolle

Si una función es continua en el intervalo cerrado [a, b], derivable en el abierto (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe un punto c del intervalo (a, b) tal que f'(c) = 0.

Interpretación geométrica

Si una función es continua en el intervalo cerrado [a, b], derivable en el abierto (a, b) y f(a) = f(b), entonces existe un punto c en el interior del intervalo (a, b) en el cual la recta tangente a la gráfica de la función tiene pendiente 0, es decir, es paralela al eje de abscisas.

Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial

Si una función es continua en el intervalo [a, b] y derivable en el abierto (a, b), entonces existe un punto c del intervalo (a, b) tal que f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).

Interpretación geométrica

Si una función es continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el abierto (a, b), entonces en algún punto del interior del intervalo la tangente a la gráfica es paralela a la cuerda, recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)), ya que la pendiente de la recta es f(b) - f(a) / b - a.