Teoremas y continuidad en funciones matemáticas
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Teorema Bolzano
- Sea f una función continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]. Si el signo de f(a) es distinto del de f(b), entonces existe al menos un 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que f(c)=0. Demostrar continuidad.
Teorema Darboux
- Si una función f es continua en el intervalo [𝑥,𝑦], entonces toma todos los valores intermedios comprendidos entre los valores de la función en los extremos del intervalo (a,b). Sea f una función continua ey f(a)
Teorema de Rolle
- Si f es una función continua en un intervalo cerrado [𝑎,𝑏] y derivable en un intervalo abierto (a, b) y, además f(a) = f(b), entonces existe al menos un 𝑐∈(𝑎,𝑏) tal que 𝑓′(𝑐)=0. Demostrar derivabilidad y continuidad.
Teorema de Lagrange
- Si f es una función continua en un intervalo [a,b] y derivable en el intervalo (a,b), entonces existe al menos un 𝑐∈(𝑎,𝑏) tal que 𝑓′(𝑐)=𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)/𝑏−𝑎. Demostrar continuidad y derivabilidad.
Teorema de WEIERSTRASS
: Si f es una función continua en el intervalo [𝑥,𝑦], entonces f alcanza máximo y mínimo absolutos en [𝑎,𝑏]. Demostrar continuidad. Razones trigonométricas:
