Teoremas Clave del Cálculo Diferencial: Derivadas Direccionales, Extremos Locales y Multiplicadores de Lagrange
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Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial
Teorema 68: Aplicación de la Regla de la Cadena en Derivadas Direccionales
Sea f : D ⊆ ℝ2 → ℝ diferenciable en (x0, y0), un punto interior de D, y sea v = (v1, v2) ∈ ℝ2 un vector unitario. Entonces, la derivada direccional Dvf(x0, y0) puede calcularse como:
Dvf(x0, y0) = D1f(x0, y0)v1 + D2f(x0, y0)v2
Es decir, Dvf(x0, y0) = ∇f(x0, y0) · v.
Demostración:
Por definición, la derivada direccional es:
Dvf(x0, y0) = limh→0 [f(x0 + hv1, y0 + hv2) − f(x0, y0)] / h
Si llamamos g(t) = f(x0 + tv1, y0 + tv2), entonces:
Dvf(x0, y0) = limh→0 [g(h) − g(0)] / h = g'(0)
Observamos que g(t) es la composición de f(x, y) con la función γ(t) = (x(t), y(t)) = (x0 + tv1, y0 + tv2). Derivando g(t) con la regla de la cadena en t = 0, tenemos:
g'(0) = D1f(γ(0)) x'(0) + D2f(γ(0)) y'(0) = D1f(x0, y0)v1 + D2f(x0, y0)v2
Teorema 83: Condición Necesaria de Extremo Local (Una Variable)
Sea f : D ⊆ ℝ → ℝ diferenciable en x0, un punto interior de D. Si x0 es un extremo local de f, entonces f'(x0) = 0 (x0 es un punto crítico de f).
Demostración:
Supongamos que x0 es un mínimo local de f. Entonces, f(x0+h) − f(x0) ≥ 0 para valores de |h| menores que el δ > 0 de la Definición 64. Resulta que:
f'(x0) = limh→0+ [f(x0 + h) − f(x0)] / h ≥ 0 (h positivo/positivo)
f'(x0) = limh→0- [f(x0 + h) − f(x0)] / h ≤ 0 (positivo/negativo)
Como f'(x0) ≥ 0 y f'(x0) ≤ 0, necesariamente f'(x0) = 0.
El Teorema 83 se llama condición necesaria porque el hecho de que f'(x0) = 0 no garantiza que x0 sea máximo ni mínimo local de f. Por ejemplo, en la función de la Figura 102, los puntos 1, 2 y 3 son puntos críticos (derivada nula), pero 2 no es máximo ni mínimo local. Para determinar si un punto crítico es máximo, mínimo o ninguno, se necesita una condición suficiente, que proviene de las derivadas de orden superior.
Teorema 85: Condición Necesaria (Dos Variables)
Sea f : D ⊆ ℝ2 → ℝ diferenciable en (x0, y0), un punto interior de D. Si (x0, y0) es un extremo local de f, entonces D1f(x0, y0) = D2f(x0, y0) = 0, o, equivalentemente, ∇f(x0, y0) = (0, 0). (Decimos que (x0, y0) es un punto crítico de f).
Demostración:
Supongamos, por ejemplo, que (x0, y0) es un mínimo local de f, es decir, f(x, y) ≥ f(x0, y0) para todo (x, y) ∈ B((x0, y0), δ). Fijando y = y0, tenemos que f(x, y0) ≥ f(x0, y0) para todo (x, y0) ∈ B((x0, y0), δ). Por lo tanto, x0 es un mínimo local de la función f(x, y0) de una variable, la x. Como esta función es diferenciable (ver Nota 61), su derivada es D1f(x, y0), y tiene un mínimo local en x0. Por el Teorema 83, su derivada en x0 es cero: D1f(x0, y0) = 0. Del mismo modo, fijando x = x0, obtenemos que D2f(x0, y0) = 0.
Para funciones de dos variables, el hecho de que ∇f(x0, y0) = (0, 0) (plano tangente horizontal) tampoco es suficiente para que (x0, y0) sea un extremo local de f.
Teorema 87: Teorema de los Multiplicadores de Lagrange
Sean f, g : D ⊆ ℝ2 → ℝ funciones con derivadas parciales continuas en D. Si (x0, y0) es un extremo de f condicionado a g(x, y) = 0 y ∇g(x0, y0) ≠ (0, 0), entonces existe un λ ∈ ℝ (llamado Multiplicador de Lagrange) tal que:
∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0)
Es decir:
D1f(x0, y0) = λ D1g(x0, y0)
D2f(x0, y0) = λ D2g(x0, y0)
Demostración:
Puede verse que, si ∇g(x0, y0) es distinto de 0, entonces existe una parametrización γ : I ⊆ ℝ → D, γ(t) = (x(t), y(t)), de la curva formada por los puntos que satisfacen la condición g(x, y) = 0 en un entorno de (x0, y0) tal que γ'(t) ≠ (0, 0). Por lo tanto, g(γ(t)) = 0 para todo t ∈ I. Sea t0 ∈ I tal que γ(t0) = (x(t0), y(t0)) = (x0, y0).