Teorema del Seno y Cálculo de Paralajes: Aplicaciones en Trigonometría

1. Teorema del Seno

El área de un triángulo es igual a:

S = (a * h₁) / 2 = (b * h₂) / 2 = (c * h₃) / 2

Del dibujo se obtiene:

• Sen(β) = h₁ / c
• Sen(γ) = h₁ / b
• Sen(α) = h₂ / c = h₃ / b

Despejando, tenemos:

• h₁ = Sen(β) * c = Sen(γ) * b
• h₂ = Sen(α) * c
• h₃ = Sen(α) * b

Ahora, por la primera igualdad del área, tenemos:

a * Sen(β) * c = a * h₁ = b * h₂ = b * Sen(α) * c ⇒ a * Sen(β) = b * Sen(α)

Y también:

a * Sen(γ) * b = a * h₁ = c * h₃ = c * Sen(α) * b ⇒ a * Sen(γ) = c * Sen(α)

Dividiendo en ambas igualdades, obtenemos finalmente:

a / Sen(α) = b / Sen(β) = c / Sen(γ)

2. Cálculo de Paralajes

Para calcular la distancia desde un punto, A o B, hasta un objeto X al cual no podemos acceder, basta efectuar una triangulación, o sea, tomar la referencia de dos puntos hasta los cuales sí podemos acceder y medir los ángulos de visualización del objeto desde ambos puntos. Se tiene entonces que el triángulo ABX puede resolverse por conocerse un lado AB y los tres ángulos α, β y el p = β - α llamado paralaje del objetivo.

Del teorema de los senos, se tiene:

AB / sin(β - α) = AX / sin(π - β) = BX / Sen(α)

Y despejando:

• AX = AB * sin(π - β) / sin(β - α) = AB * sin(β) / sin(p)
• BX = AB * sin(α) / sin(β - α) = AB * sin(α) / sin(p)

Ejemplo:

La distancia rectilínea entre A y B es AB = 200 m, y los ángulos del mismo lado que forma la dirección del objeto con el segmento base son 38°12'15'' desde A, y 38°13'07'' desde el punto B.

Entonces, la paralaje es p = 13'07'' - 12'15'' = 52'' y las distancias son:

• d_A = 200 * sin(38°13'07'') / sin(52'') = 200 * 0.618663628 / 0.0002521031 ≈ 2454 m ≈ 2.5 km
• d_B = 200 * sin(38°12'15'') / sin(52'') = 200 * 0.618465542 / 0.0002521031 ≈ 2453.2 m ≈ 2.5 km

2.1 Paralaje Diurna

Cuanto más lejos está el objeto, más pequeña es la paralaje p. Cuando el objeto X está demasiado lejano, es conveniente aumentar la longitud del segmento base, a fin de que la medida del ángulo p tenga sentido. Por ejemplo, haciendo que la longitud AB sea un radio terrestre. En el cálculo de la paralaje diurna, para el cálculo de distancias de objetos en el sistema solar se mide el ángulo desde el mismo punto de observación A en un intervalo de horas desde la culminación hasta la puesta del astro. De esta forma, uno de los ángulos a medir hacemos que sea recto, α = 90°, y el despeje de una de las distancias es más sencillo:

BX = AB * sin(α) / sin(p) = AB / sin(p)

El ángulo del objeto es la paralaje diurna.

2.2 Paralaje Anual

Cuando se trata de medir distancias hasta 250 años luz, es necesario ampliar la longitud del segmento hasta el radio medio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, es decir, de unos 150 millones de kilómetros. El ángulo que se mide se llama la paralaje anual de la estrella, en la que también uno de los ángulos es recto.

Ejemplo:

Para una paralaje de un segundo, p = 1”, y con el radio medio de la órbita terrestre, r = 150 000 000 km, se tiene:

d = r / sin(1”) = 150 000 000 / 0.000004848 ≈ 3.093972094 * 10¹³ km ≈ 31 Tm

Si dividimos por la distancia que recorre la luz en un año:

300 000 * 60 * 60 * 24 * 365 ≈ 0.946080000 * 10¹³

Obtenemos:

d ≈ 3.093972094 * 10¹³ / 0.946080000 * 10¹³ ≈ 3.26 años luz.

Definición: Se llama parsec a la distancia anterior.

Como consecuencia de la definición de parsec, si la paralaje, p, de una estrella se mide en segundos de arco, entonces su distancia en parsecs es d = 1 / p.