Teorema de Representación de Riesz y Espacios Lineales Normados: Propiedades y Continuidad

Ejercicio: Probar que si dimV = n y f : V → F es una aplicación lineal, entonces existe un único w ∈ V tal que f(v) = para todo v ∈ V, es decir f = <−, w> (Teorema de Representación de Riesz).

Espacios Lineales Normados

En general, si V es un F-espacio vectorial, llamaremos norma sobre V a una aplicación k · k : V → R satisfaciendo:

1. kvk ≥ 0 y kvk = 0 si y sólo si v = 0V
2. kv + wk ≤ kvk + kwk
3. kkvk = |k| · kvk para todo v, w ∈ V y todo k ∈ F.

El par (V, || · ||) se dirá espacio lineal normado.

Es claro que todo F-espacio vectorial con producto escalar es un espacio lineal normado, pero no recíprocamente. Para que podamos definir un producto escalar a partir de una norma es necesario imponerle a ésta algunas condiciones adicionales, como por ejemplo la ley del paralelogramo.

Función Distancia o Métrica Asociada a la Norma

Sea (V, k · k) un F-espacio lineal normado, la aplicación d : V × V → R dada por d(u, v) = ku − vk se dirá función distancia o métrica asociada a la norma k · k y de las propiedades de esta última se sigue que d(u, v) ≥ 0 y d(u, v) = 0 si y sólo si u = v, es simétrica para todo u, v ∈ V: en efecto, d(u, v) = ku − vk = k(−1)(v − u)k = | − 1|kv − uk = kv − uk = d(v, u) y se satisface la desigualdad triangular: d(u, v) = ku − vk = ku − w + w − vk ≤ ku − wk + kw − vk = d(u, w) + d(w, v) para todo u, v, w ∈ V.

Dados un punto x ∈ V en un espacio lineal normado y un número real r > 0 denotaremos respectivamente por B(x, r) = {y ∈ V : ky − xk < r}, D(x, r) = {y ∈ V : ky − xk ≤ r} y S(x, r) = {y ∈ V : ky − xk = r} la correspondiente bola, disco y esfera en V de centro x y radio r.

Ejemplos

Ejemplo: Sea V = Fⁿ y {e₁, · · · e_n} su base canónica, e_i = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), dados x = (x₁, ..., x₂), y = (y₁, ..., y₂) definimos <−, −>: Fⁿ × Fⁿ → F por = x^ty = Σx_iy_i. Es inmediato comprobar que es un producto escalar, la norma que define kxk₂ = ^1/2 = (Σ|x_i|²)^1/2 se denomina norma euclídea, en el caso real, y norma unitaria, en el caso complejo. El espacio lineal normado (Fⁿ, k · k₂) se denomina espacio euclídeo n-dimensional o espacio unitario n-dimensional según F = R o C.

Ejemplo: Sea X un conjunto, una aplicación f : X → F se dice acotada si sup{|f(x)| : x ∈ X} < ∞, el conjunto de las funciones acotadas B(X) tiene estructura de F-espacio vectorial: dadas f, g ∈ B(X) definimos f + g : X → F por (f + g)(x) = f(x) + g(x) y dado t ∈ F definimos tf : X → F por (tf)(x) = tf(x). Sea | · | la norma (valor absoluto o módulo) sobre F, de sus propiedades se sigue fácilmente que la aplicación k · k_∞ : B(X) → R definida por kfk_∞ = sup{|f(x)| : x ∈ X} es una norma, entonces (B(X), k · k_∞) es un espacio lineal normado. Notar que B(X) = Fⁿ para X = {1, 2, ....n}.

Continuidad en Espacios Lineales Normados

Una aplicación f : V → W, no necesariamente lineal, entre dos espacios lineales normados se dice continua en x₀ ∈ V si para todo ε > 0 existe δ = δ(x₀, ε) > 0 tal que kx − x₀k < δ implica kf(x) − f(x₀)k < ε, equivalentemente si para todo ε > 0 existe δ = δ(x₀, ε) > 0 tal que f(B(x₀, δ)) ⊂ B(f(x₀), ε). Diremos que f es continua si lo es en todo punto y que es uniformemente continua si δ = δ(ε) sólo depende de ε y no del punto. Una biyección continua entre espacios normados cuya inversa es también continua se dirá homeomorfismo.

Ejemplo: Sea (V, k · k) un espacio lineal normado y consideramos la métrica usual en R, es decir d(x, y) = |x−y|, entonces k·k : V → R es uniformemente continua. En efecto, kxk = kx−y+yk ≤ kx−yk+kyk, por tanto kxk− kyk ≤ kx−yk, intercambiando los papeles de x e y se tiene kyk − kxk ≤ ky −xk y se sigue que |kxk − kyk| ≤ kx − yk. Entonces dado ε > 0 podemos tomar δ = ε y es claro que d_V(x, y) = kx − yk < ε implica d_R(kxk, kyk) = |kxk − kyk| < ε

Sea L : V → W una aplicación lineal entre dos espacios lineales normados, notar que L es continua en 0_V si y sólo si es uniformemente continua: en efecto, la continuidad en 0_V implica que para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que kLzk < ε siempre que kzk < δ, entonces dado x ∈ V es claro que kLy−Lxk = kL(y−x)k < ε para todo y ∈ V tal que ky−xk < δ, por tanto L es uniformemente continua ya que para x nos vale el mismo δ que para 0_V. El recíproco es obvio.

Hemos definido la continuidad en términos de bolas pero la podríamos haber definido, equivalentemente, en términos de discos: f es continua en x₀ ∈ V si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que kx − x₀k ≤ δ implica kf(x) − f(x₀)k ≤ ε, es decir, si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que f(D(x₀, δ)) ⊂ D(f(x₀), ε).

Aplicaciones Lineales Acotadas y Continuidad

Una aplicación lineal L : V → W entre dos espacios lineales normados se dirá acotada si existe M > 0 tal que kLxk ≤ Mkxk para todo x ∈ V. Vamos a probar que en aplicaciones lineales, las continuas son exactamente las acotadas

Teorema

Sea L : V → W una aplicación lineal entre dos espacios lineales normados, son equivalentes las siguientes afirmaciones:

1. L