Teorema Fundamental del Cálculo: Explicación y Demostración

Definición y Conceptos Clave de la Integral

Una integral, en el contexto de una función real de variable real f: R -> R, posee un doble significado. Existen dos conceptos fundamentales de integral para una función f(x):

• Integral Indefinida: Es otra función F(x) cuya derivada es la función original, es decir, F'(x) = f(x), para cada punto en su dominio de definición. Se la puede denominar también antiderivada u operación inversa de la derivada. Si existe, se denota por: ∫ f(x)dx = F(x) + c, donde c es una constante arbitraria.
• Integral Definida: Se define en un intervalo [a, b] como un límite de sumas numéricas. Cuando este límite existe, el resultado es un número. Se denota por: ∫_a^b f(x)dx = lim_n→∞ Σ_i=1ⁿ f(x_i) (b - a)/n.

Teorema del Valor Medio Integral

Este teorema establece una relación importante para funciones continuas:

Si una función f(x) es continua en un intervalo [a, b], existe un punto intermedio c ∈ [a, b] tal que f(c) = (1/(b - a)) ∫_a^b f(x)dx.

Relación entre Derivada e Integral Definida

Existe una conexión fundamental entre la derivada y la integral definida, con interpretaciones geométricas significativas. Los extremos del intervalo [a, b] se denominan límites de integración (a es el límite inferior y b el límite superior). Si hacemos variar el límite superior de la integral definida, obtenemos una nueva función:

F(x) = ∫_a^x f(t)dt

En condiciones generales, esta función F(x) es una antiderivada de f(x). Para demostrarlo, calculamos la derivada de F(x) hallando el límite de los cocientes ΔF/Δx cuando Δx → 0:

ΔF = F(x + Δx) - F(x) = ∫_a^x+Δx f(t)dt - ∫_a^x f(t)dt = ∫_x^x+Δx f(t)dt

Aplicando el teorema del valor medio integral, existe un punto c ∈ (x, x + Δx) tal que:

F'(x) = lim_Δx→0 ΔF/Δx = lim_Δx→0 (1/Δx) ∫_x^x+Δx f(t)dt = lim_Δx→0 f(c) = f(x)

La última igualdad se cumple porque, al ser f(x) continua, lim_Δx→0 f(c) = f(x). Esto demuestra que F(x) = ∫_a^x f(t)dt es derivable y, por lo tanto, continua.

Teorema Fundamental del Cálculo

El razonamiento anterior nos lleva al Teorema Fundamental del Cálculo:

Si una función f(x) es continua en [a, b], entonces la función F(x) = ∫_x^a f(t)dt es continua en [a, b], diferenciable en (a, b) y F'(x) = f(x).

Fórmula Fundamental del Cálculo

Como consecuencia del teorema fundamental, si conocemos una antiderivada g(x) de una función continua f(x) en el intervalo [a, b] (es decir, g'(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b]), y dado que F(x) = ∫_x^a f(t)dt es también una antiderivada de f(x), entonces la derivada de su diferencia es cero:

(F(x) - g(x))' = F'(x) - g'(x) = f(x) - f(x) = 0

Esto implica que F(x) - g(x) = C (una constante) para todo x ∈ [a, b]. Por lo tanto, F(x) = ∫_x^a f(t)dt = g(x) + C.

Evaluando en x = a, tenemos F(a) = ∫_a^a f(t)dt = 0 = g(a) + C, de donde C = -g(a). Finalmente, evaluando en x = b, obtenemos:

F(b) = ∫_a^b f(t)dt = g(b) + C = g(b) - g(a)

Esta es la Fórmula Fundamental del Cálculo:

Si g'(x) = f(x) es continua en [a, b], entonces la integral definida en ese intervalo se calcula como la diferencia de los valores de cualquier antiderivada en los límites de integración: ∫_a^b f(t)dt = g(b) - g(a).