Teorema de Euler y Curvatura de Gauss: Exploración Detallada

Teorema de Euler: Sea M=(U,X) una Superficie Simple Propia, p=X(u¹₀,u²₀) un punto cualquiera pero fijo de M. Sea Y ∈ T_pM tal que ||Y||=1. Entonces:

II(Y,Y)=κ₁*cos²(θ)+κ₂*sen²(θ) donde θ es el ángulo de Y con X₍₁₎.

Demostración: Recordemos: Si L es autoadjunta, existe una base ortonormal: B formada por vectores propios de L. La matriz coordenada de L en B es una matriz diagonal. En nuestro caso, por ser la aplicación de Weingarten L autoadjunta, existe {X₍₁₎,X₍₂₎} base ortonormal de T_pM formada por vectores propios de L. Tenemos entonces que:

Y = α₁X₍₁₎+α₂X₍₂₎

II(Y,Y) = (α₁ α₂)*[[κ₁ 0];[0 κ₂]]*(α₁ α₂)= (α₁)²κ₁ + (α₂)²κ₂

<Y,X₍₁₎> =<α₁X₍₁₎+α₂X₍₂₎, 1*X₍₁₎+0*X₍₂₎>=α₁

<Y,X₍₁₎>=||Y||*||X₍₁₎||*cos(θ)

1 =||Y||²=<Y,Y>=<α₁X₍₁₎+α₂X₍₂₎, α₁X₍₁₎+α₂X₍₂₎>= (α₁)²+(α₂)²

⇒ (α₂)² =1−(α₁)² =1−(cos(θ))²=(sen(θ))²

CONCLUSION: II(Y,Y) = (cos(θ))²κ₁+(sen(θ))²κ₂

Curvatura de Gauss: p es un Punto Elíptico si K>0, p es un Punto Hiperbólico si K<0, p es un Punto Parabólico si (K=0) y (κ1 ó κ2 distinto de 0), p es un Punto Plano si (K=0) y (κ1=κ2=0)

Indicatriz de Dupin: Sean M=(U,X) una Superficie Simple Propia, p=X(u¹₀,u²₀) un punto cualquiera pero fijo de M. Definimos

D⁺:={X ∈ T_pM tal que II(X,X)=1}

D⁻ := {X ∈ T_pM tal que II(X,X)=-1}

Definimos la Indicatriz de Dupin en p (y la denotamos por D) como sigue: D= D⁺∪D⁻

Sean M = (U,X) una Superficie Simple Propia p=X(u¹₀,u²₀) un punto cualquiera pero fijo de M. Sea D indicatriz de Dupin en p, se tiene que:

1. Si K> 0 entonces D es un elipse
2. Si K< 0 entonces D es un par de hipérbolas conjugadas.
3. 1. (Si K=0) y (κ1 ó κ2 distinto de 0) entonces D es un par de rectas paralelas
   2. (Si K=0) y (κ1 = κ2 = 0) entonces D = ∅

Curvatura Riemanniana Sean M=(U,X) una Superficie Simple Propia ∀ i,j,k,l ∈{1,2} consideramos las aplicaciones R^l_ijk: U →R definidas como sigue:

R^l_ijk:=(δΓ^l_ik/δu^j)−(δΓ^l_ij/δu_k)+sumatorio de s (Γ^s_ik*Γ^l_sj−Γ^s ij*Γ^l sk). Rlijk Coeficientes del Tensor de Curvatura Riemann.

Demostración Ecuación Gauss Codazzi:

Fórmula de Gauss: Xij = Lij* n +sumatorio de s Γ^sij*X_s

δXij/δu^k= δ(L_ij*n +sumatorio de s Γs ij X_s)/ δu^k

Xijk = (δLij/δuk +sumatorio l Γ^l ij *L_lk)*n +sumatorio de s(−Lij*L^sk +(δΓ^sij/ δuk)+sumatorio de l (Γs lk*Γk ij))*X_s Calculamos Xikj

cambio jotas por kas igualo las partes de los sumatorios de Xijk Xikj

Teorema Egregio de Gauss sumatorio de l Rl ijk*glm.

Usando las ecuaciones de Gauss: Rl ijk = Lik*Ll j −Lij*Ll k

sumatorio de l (Lik*Ll j*glm −Lij*Ll k*glm) =Lik*(sumatorio de l (Ll j*glm))−Lij*(sumatorio de l (Ll k*glm)) .

Teniendo en cuenta que (Lj i)(gij)=(Lij) deducimos

sumatorio de l Rl ijk*glm=Lik*Ljm −Lij*Lkm

Para el caso particular: sum de l Rl 121*gl2 = L11*L22 −L12*L2= det(Lij)= det((Lj i)*g