Teorema Central del Límite e Inferencia Estadística: Guía Práctica

Teorema Central del Límite e Inferencia Estadística

TLC (Teorema Central del Límite): Si se tiene una población con media μ y desviación estándar σ, y se toman muestras de tamaño n, entonces:

1. μ_x̄ = μ (La media de las medias muestrales es igual a la media poblacional).
2. σ_x̄ = σ / √n (La desviación estándar de las medias muestrales es igual a la desviación estándar poblacional dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra).

Aplicación del TLC:

Z = (X̄ - μ) / (σ / √n)

Donde:

• X̄ representa la media muestral.
• μ representa la media poblacional.
• σ representa la desviación estándar poblacional.
• n representa el tamaño de la muestra.

Z = (x - u) / √n → Valores individuales de X.

Z = (x - u) / (σ / √n) → Aproximación de la media (x̄).

Inferencia Estadística

La inferencia estadística se utiliza para hacer generalizaciones sobre una población basándose en la información obtenida de una muestra.

1. Estimación puntual de un parámetro: Corresponde al valor de la estimación de la muestra correspondiente.
2. Estimación por intervalos: Un intervalo limitado por dos valores que sirve para estimar un parámetro poblacional a partir de una muestra.
3. Nivel de confianza (1 - α): El nivel de significación (α) corresponde al parámetro que se está estimando.
4. Intervalo de confianza (IC): Corresponde a la estimación de un intervalo con un nivel de confianza especificado.

Estimación de la media μ (σ conocida)

Supuesto: Distribución normal de la muestra.

Ejemplo: Se identificó una muestra de 100 alumnos que viajan desde su casa a Inacap, donde el recorrido es de 10.22 km diariamente. Si la desviación estándar poblacional es de 6 km, estimar la media poblacional con un 95% de nivel de confianza.

X̄ y S → Muestra (n); μ y σ → Población (N).

Estimación de la media μ (σ Desconocida)

Si X̄ y S corresponden a la media μ y la desviación estándar poblacional desconocida, entonces el intervalo de confianza será:

X̄ ± t_{(gl, α/2)} * (S / √n)

Donde:

• t: valor de la tabla T-Student (n < 30; si n > 30, se puede usar la distribución normal).
• gl: Grados de libertad (n - 1).
• S: Desviación estándar muestral.
• X̄: Promedio muestral.

Ejemplo: De los pesos de los nacidos en el año 2005 en el hospital regional, se toma una muestra de 20 con una X̄ de 6.87 kg y una S de 1.79 kg. Estimar con un 95% de confianza, el peso X̄ de todos los niños nacidos en este año en el recinto.

Estimación del tamaño de muestra

Supuesto: La población se distribuye normalmente.

e = Z_{(1 - α/2)} * (σ / √n)

√n * e = Z_{(1 - α/2)} * σ

Ejemplo: Determinar el tamaño de la muestra para estimar el peso medio de un curso, si se quiere obtener una exactitud menor a un kilo, con 99% de confianza. Además, considerar sigma igual a 3 kg.

Naturaleza de las pruebas de Hipótesis

Se utilizan para tomar decisiones en cualquier aspecto de la vida cotidiana, siguiendo el siguiente patrón:

1. Ponderar las alternativas.
2. Basándose en convicciones, preferencias personales y hechos disponibles, se toma una decisión y se emprende una acción idónea.

1. Hipótesis (Hi): Afirmación de que algo es verdadero.
2. Pruebas de Hipótesis: Proceso para tomar una decisión entre dos hipótesis opuestas. Estas son:

• Hipótesis Nula (H0): Punto inicial de la investigación, que por lo general es el valor de un parámetro poblacional.
• Hipótesis Alternativa (H1): Afirmación sobre el mismo parámetro que H0, pero con un valor contrario.

¿Cuál es H0, Cuál es H1?

• La idea es refutar H0 para comprobar la veracidad de H1.
• El deseo del investigador se encuentra sobre la H1.
• Por lo tanto, se espera comprobar la improbabilidad de la veracidad de la H0.

Ejemplo:

H0: El carrete será un fracaso.

H1: El carrete será un éxito (lo que espera uno).

Test (Pruebas) de Hipótesis

Para tomar decisiones estadísticas acerca de un parámetro poblacional bajo estudio, existen posibles afirmaciones a H0 y H1.

Tabla de Hipótesis Estadísticas

Tabla A: Test para la media μ (σ conocida)

Estadístico de prueba: Z* = (x̄ - μ₀) / (σ / √n) ~ N(0, 1)

Región de rechazo (RR).

Tabla B: Test para la media μ (σ desconocida)

Si: S² = Σ(xi - x̄)² / (n - 1) → S = √S²

Estadístico de prueba: T* = (x̄ - μ₀) / (S / √n) ~ t(n - 1)

RR.

Ejercicios

1. Un profesor ha registrado las notas de sus alumnos durante varios semestres, siendo la media igual a 4.0. Su curso actual es de 36 alumnos y parecen tener una aptitud promedio superior, por lo tanto, lo que el profesor desea demostrar es que, de acuerdo con su media, el curso actual es superior a los anteriores. Constituye la evidencia de un promedio del curso actual igual a 4.5 suficiente evidencia para respaldar la afirmación del profesor.

Supuesto: α = 0.05; σ = 1.2.

Paso 1:

H0: μ = 4.0 (≤)

H1: μ > 4.0

Paso 2: Tabla A ya que se conoce σ = 1.2.

Paso 3: μ = 4.0; n = 36; x̄ = 4.5; σ = 1.2; α = 0.05.

Z* = (X̄ - μ) / (σ / √n) = (4.5 - 4.0) / (1.2 / √36) = 0.5 / 0.2 = Z* = 2.5

RR: Z* > Z_{(1 - α)} = 2.5 > Z_(0.95) = 2.5 > 1.645

Paso 4: Se rechaza H0 con un 95% de nivel de confianza, se respalda la afirmación del profesor.

2. El gerente de una empresa afirma que el número de llamadas solicitando algún servicio no es mayor a 15 por semana en promedio. Para comprobar su afirmación, se registraron las llamadas durante 36 semanas al azar, arrojando una X̄ de 17 llamadas y una varianza igual a 9 llamadas. ¿Contradice la evidencia de la muestra, la afirmación del gerente al nivel de significación del 5%?

Paso 1:

H0: μ ≤ 15

H1: μ > 15

Paso 2: Tabla B porque σ es desconocida.

Paso 3: μ = 15; n = 36; X̄ = 17; S² = 9; S = 3; α = 0.05 (5%).

RR: T* > Z_{(1 - α)} = 4 > Z_(0.95) = 4 > 1.645

Paso 4: Se rechaza H0, por lo que el número de llamadas es superior a 15.