Teorema de Bayes y Variaciones, Permutaciones y Combinaciones

Probabilidad Total

P(B) = P(B|A₁) P(A₁) + P(B|A₂)P(A₂) + ... + P(B|A_n)P(A_n)

Teorema de Bayes

P(A_k|B) = P(B|A_k)P(A_k) / (P(B|A₁) P(A₁) + P(B|A₂)P(A₂) + ... + P(B|A_n)P(A_n))

Variaciones sin repetición

Sean m, n dos números naturales tales que (m ≥ n). Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Llamaremos variación sin repetición (o simplemente variación) de esos m elementos tomados de n en n, a todo grupo ordenado formado por n elementos distintos de los m, de tal manera que dos variaciones o grupos se consideran distintas si:

• Difieren en alguno de sus elementos
• O bien teniendo los mismos elementos difieren en el orden de colocación

El número total de variaciones de m elementos tomados de n en n es:

V_m,n = m!/(m-n)!

Variaciones con repetición

Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Llamaremos variación con repetición de esos m elementos tomados de n en n a todo grupo ordenado formado por n elementos no necesariamente distintos, tomados de los m.

Consideraremos distintas dos variaciones si difieren en algún elemento, o si teniendo los mismos estos difieren en el orden de colocación.

Al poder repetir elementos puede ocurrir que n > m

El número total de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n es:

VR_m,n = mⁿ

Permutaciones sin repetición

Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Llamaremos permutación sin repetición (o simplemente permutación) de m elementos a cada uno de los distintos grupos de m elementos que se pueden formar, difiriendo un grupo de otro únicamente en el orden de colocación de sus elementos.

El número total de permutaciones posibles de orden m se denota por P_m

P_m = V_m,m

P_m = m!

Permutaciones con repetición

Sea un grupo de m elementos, entre los cuales existen a₁ elementos iguales de un cierto tipo, a₂ elementos iguales de otro cierto tipo y así sucesivamente hasta a_r elementos iguales de otro tipo. Las permutaciones de esos m elementos bajo esas condiciones se denominan permutaciones con repetición entre los que a₁ son iguales, a₂ son iguales,…, y así sucesivamente hasta a_r iguales.

El número de permutaciones con repetición de m elementos se denota por PR_m^{a₁,a₂,…,a_r}

PR_m^{a₁,a₂,…,a_r}= m!/(a₁!a₂!...a_r!), a₁+a₂+…+a_r=m

Combinaciones sin repetición

Consideremos dos números naturales n, m tales que m ≥ n. Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Llamaremos combinación sin repetición (o simplemente combinación) de esos m elementos tomados de n en n, a todo grupo formado por n elementos tomados de los m. de manera que dos combinaciones o grupos se consideran distintos si difieren en alguno de sus elementos.

El número de combinaciones de m elementos tomados de n en n se denota por C_m,n o por C_mⁿ

C_m,n= m!/n!(m-n)!

Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Llamaremos combinación con repetición de esos m elementos tomados de n en n, a todo grupo formado por n elementos distintos o repetidos tomados de los m, de manera que dos combinaciones o grupos se consideran iguales si están formados por los mismos elementos y repetidos el mismo número de veces.

El número de combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se denota por CR_m,n o por CR_mⁿ

CR_m,n = C_m+n-1,n

CR_m,n = (m+n-1)! / (n!(m-1)!)