Estados Tensionales en Secciones Simétricas y Asimétricas: Comportamiento Elástico y Plástico

Estados Tensionales en Secciones Simétricas y Asimétricas

Estados Tensionales Sucesivos para Secciones Simétricas

Sea una sección simétrica respecto a los ejes Y y Z, sometida a flexión pura con un momento flector M, que aumenta paulatinamente desde cero.

Fase 1: Hasta Alcanzar la Fluencia

Toda la sección se comporta elásticamente. Distribución lineal de tensiones, obedece la ley de Navier. Al continuar aumentando M, llega un momento en que la tensión en las fibras extremas, que son las más solicitadas, alcanza el valor de la tensión de fluencia, siendo éste el último instante en que es aplicable la ley de Navier. Al momento flector correspondiente a ese instante se le denomina momento de fluencia Mf, y se puede obtener a partir de la expresión anterior sin más que hacer Mz = Mf. Para una sección rectangular:

Fase 2: Hasta que Toda la Sección Alcanza la Fluencia

Si el valor del momento flector sigue incrementándose por encima de Mf, las deformaciones unitarias en la sección continuarán aumentando y el valor máximo de εx será mayor que εf. Al ser el material elastoplástico perfecto, la tensión máxima permanecerá constante e igual a σf. Las zonas más externas de la sección se habrán plastificado enteramente, mientras que un núcleo interior continúa linealmente elástico; núcleo elástico. El proceso continúa hasta que el momento aplicado alcanza un valor (momento plástico o momento último) que es el máximo momento flector que es capaz de resistir la sección. Suponiendo la sección totalmente plastificada, el momento plástico o momento último será:

Análisis para Secciones Asimétricas

La característica diferenciadora es la variación de la posición del eje neutro a partir del instante en que el momento flector aplicado supera el momento de fluencia de la sección. Mientras el elemento trabaja en régimen elástico, el eje neutro pasará por el centro de gravedad de la sección. Sin embargo, en la distribución de tensiones correspondiente a la carga última, el eje neutro dividirá a la sección en dos partes de igual área. Teniendo en cuenta que se trata de flexión pura, la fuerza resultante de las tensiones de compresión es igual a la fuerza resultante de las tensiones de tracción. Igualando ambas:

El momento plástico puede entonces expresarse como:

Factor de Forma

Se denomina factor de forma de una sección al cociente entre los valores correspondientes del momento último y el momento de fluencia:

No depende de la tensión de fluencia del material sino sólo de la forma geométrica de la sección, y siempre es mayor que la unidad.

El factor de forma indica el intervalo que separa la situación límite elástica de la situación de agotamiento. Contrariamente a lo que pueda parecer, interesa un factor de forma pequeño, porque entonces la zona de trabajo elástico, que es la habitual en estructuras, es más amplia (para la misma carga última).

Condiciones de Ligadura

Sistema de ecuaciones que se ha obtenido: (F)=[K](Δ). Mediante la resolución del sistema hallamos {'} y luego las deformaciones y tensiones.

• [K] es singular, |K|=0. No es posible obtener su inversa y por tanto no es posible resolver el sistema tal y como se plantea. El álgebra demuestra que para que un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas tenga solución única, es necesario y suficiente que las n ecuaciones sean linealmente independientes. En este caso, las fuerzas Fi deben satisfacer las condiciones de equilibrio estático. En 2D hay 3 ecuaciones, por lo que las ecuaciones planteadas no son linealmente independientes.

El significado físico de este hecho es muy claro: se ha establecido el sistema de ecuaciones sin tener en cuenta para nada las condiciones de ligadura de la estructura, condiciones que impiden los posibles movimientos de sólido rígido del sistema completo.

Ligaduras de Desplazamiento Nulo

1. Definiciones

Parte de los desplazamientos son conocidos y parte de las fuerzas son desconocidas.

2. Ecuación de Equilibrio (con la Reordenación de la Matriz de Rigidez)

Reescribimos {F}=[K]{Δ} tal que:

3. Obtención de los Desplazamientos Libres

Calculamos {ΔL} ya que {FL} es conocida. En la práctica esto no se hace. Lo que se hace es eliminar de la matriz [K] las filas y columnas correspondientes a los grados de libertad que tienen desplazamiento nulo, obteniendo así [KLL]

4. Obtención de las Reacciones en los Apoyos

Una vez obtenidos los desplazamientos de los nudos libres de la estructura obtenemos las reacciones en los apoyos con:

Ligaduras de Desplazamiento Conocido (Asentamiento)

1. Definiciones:          2. Ecuación de equilibrio (con la reordenación de la matriz de rigidez):

3. Eliminación de las ecuaciones correspondientes a los grados de libertad fijos:

4. Obtención de los desplazamientos libres:

5. Obtención de las reacciones en los apoyos: