Sucesiones de Números Reales: Conceptos y Propiedades

Sucesiones de Números Reales

Definiciones

Definición: Una sucesión en R es una aplicación x : N → R.

Definición: Una subsucesión de {x_n}_n∈N viene dada por una sucesión n₁ n₂ n_k x_nk}_k∈N.

Límite de una Sucesión de Números Reales

Definición: Sea {x_n}_n∈N una sucesión de números reales.

• x_n → l o lím x_n = l si ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que n > n₀ ⇒ |x_n − l| x_n}_n∈N es convergente y converge a l.

Ejemplo: x_n = 1/n.

Definición: Sea {x_n}_n∈N una sucesión de números reales.

• lím x_n = +∞ (sucesión divergente a +∞) si ∀ k > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que n > n₀ ⇒ x_n > k.
• lím x_n = −∞ (sucesión divergente a −∞) si ∀ k > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que n > n₀ ⇒ x_n k.

En ese caso, se dice que la sucesión {x_n}_n∈N es divergente.

Ejemplos: {n²}_n∈N, {2ⁿ}_n∈N, {log(n)}_n∈N, ... divergen a +∞ y {−n²}_n∈N, {−2ⁿ}_n∈N, {−log(n)}_n∈N, ... divergen a −∞.

La sucesión {x_n}_n∈N es oscilante si no tiene límite (ni finito ni infinito).

Ejemplo: {1, −1, 1, −1, ...}.

El Límite como Punto de Acumulación

Proposición: El límite de una sucesión convergente es un punto de acumulación del conjunto {x_n}_n∈N.

Demostración: Aplicando directamente la definición de límite obtenemos que si lím x_n = l, entonces ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que n > n₀ ⇒ |x_n − l| 0, existe n₀ tal que si n > n₀ entonces x_n ∈ B(l, ε), y esto supone que en cualquier bola de centro l hay infinitos puntos de la sucesión y, por lo tanto, que l es un punto de acumulación de la misma.

Ejemplo: Sea x_n = 1/n ⇒ lím_n→∞ x_n = 0 (0 es el límite y un punto de acumulación de la sucesión).

Unicidad del Límite

Proposición: El límite de una sucesión, si existe, es único.

Demostración: Supongamos que lím x_n = l₁ y lím x_n = l₂. Por definición de límite, para todo ε > 0 existe n₁ tal que n > n₁ entonces |x_n − l₁| n₂ tal que n > n₂ entonces |x_n − l₂| n₀ = máx{n₁, n₂} de modo que si n > n₀ obtenemos: |l₁ − l₂| ≤ |l₁ − x_n| + |x_n − l₂| 0 concluimos que l₁ = l₂.

Sucesiones Acotadas

Definición:

1. Una sucesión {x_n}_n∈N es superiormente acotada si existe M ∈ R tal que x_n ≤ M, ∀n ∈ N. Al valor M lo denominamos cota superior de la sucesión y a la menor de las cotas superiores, si existe, la denominamos supremo.
2. Una sucesión {x_n}_n∈N es inferiormente acotada si existe m ∈ R tal que x_n ≥ m, ∀n ∈ N. Al valor m lo denominamos cota inferior de la sucesión y a la mayor de las cotas inferiores, si existe, ínfimo.
3. Diremos que {x_n}_n∈N es acotada si lo está inferior y superiormente, esto es, existe k ∈ R tal que |x_n| ≤ k, ∀ n ∈ N.

Sucesiones Convergentes y Sucesiones Acotadas

Proposición: Toda sucesión convergente está acotada.

Demostración: Como lím x_n = l, entonces ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que n > n₀ ⇒ |x_n − l| n > n₀ ⇒ l − 1 x_n l + 1. Así, si consideramos m = mín{l − 1, x₁, ..., x_n0} y M = máx{l + 1, x₁, ..., x_n0} tenemos que m ≤ x_n ≤ M para cualquier n ∈ N (o también tomando k = máx{|m|, |M|} tendríamos que |x_n| ≤ k para cualquier n ∈ N), lo que supone que la sucesión está acotada.

Propiedades Aritméticas de las Sucesiones Convergentes

Sean {x_n}_n, {y_n}_n sucesiones convergentes, tales que lím x_n = l, y lím y_n = l'. Entonces:

1. lím (x_n + y_n) = l + l'
2. lím (x_n y_n) = l l'
3. lím (x_n/y_n) = l/l' si l' ≠ 0 (cuando se cumpla que y_n ≠ 0 a partir de un índice adecuado)
4. Fijado u > 0, u ≠ 1: lím (log_u x_n) = log_u l si l > 0 (tiene sentido dado que se cumple x_n ≠ 0 a partir de un índice adecuado)
5. lím (u^x_n) = u^l (siendo u > 0 dado)
6. lím (x_n^y_n) = l^l' si l > 0; en particular, lím (x_n^c) = l^c (si l^c existe).

Infinitésimos e Infinitos

Definición: La sucesión {x_n}_n∈N

• Es un infinitésimo si lím x_n = 0
• Es un infinito si lím x_n = ∞

Proposición: lím x_n = l si y sólo si lím (x_n − l) = 0 (es un infinitésimo). La suma de infinitésimos es otro infinitésimo.

Proposición: Si {x_n}_n∈N es un infinitésimo e {y_n}_n∈N es acotada, entonces {x_ny_n}_n∈N es un infinitésimo.

Demostración: Por ser {y_n}_n∈N acotada existe k ∈ R tal que |y_n| k, ∀ n ∈ N. Por ser lím x_n = 0, para cualquier ε > 0 existe n₀ ∈ N tal que si n > n₀ entonces |x_n| k existirá un n₀ verificando la condición y tendremos: |x_ny_n| x_n|k k)k = ε, ∀ n > n₀ ⇔ lím x_ny_n = 0.

La Serie Armónica

La serie armónica es divergente.

Demostración: = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... Agrupando términos tenemos que: 1 + 1/2 > 1/2 ; 1/3 + 1/4 > 2/4 = 1/2 ; 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 4/8 = 1/2 ; ... Así > 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... = ∞, que es divergente. Aplicando el criterio de comparación de la mayorante obtenemos que la serie es divergente.