Soluciones a Problemas de Cálculo Vectorial: Teoremas y Aplicaciones

Más soluciones Hoja 3

26) Circulación y Flujo de un Campo Vectorial

Circulación F_T de un campo conservativo a lo largo/a través de una curva cerrada. Flujo F_N

c^->=(x(t),y(t))

c^´->=(x´,y´) tangente a la curva

Vector unitario tangente U_T^->=c^´->/||c^´->||=(x´,y´) /√(x´²+ y´²)

F_T=F^->·U_T^->= F^->·c^´->/||c^´->||

Circulación: ∫_c->F_T^->dS^->= ∫_CF·u_TdS= ∫_cF·c^´dt

Flujo: ∫_cF_NdS= ∫_cF·u_NdS= ∫_cF·(y´,-x´)dt

c=(y´,-x´)

Vector unitario normal u_N=(y´,-x´)/√(x´²+ y´²) =(y´,-x´)/ ||c^->||

F_N= F^->·U_N^->=F·(y´,-x´)/ ||c^->||

F^->=F1i+F2j

Teorema de la divergencia en el plano:

• Circulación:∬_D( ∂F2/∂x- ∂F1/∂y)dxdy=∬_D( ∇ x F)kdxdy
• Flujo: ∫_c(F1y´-F2x´)dt= ∫_cF2dx+F1dy=∬_D( ∂F1/∂x+ ∂F2/∂y)dxdy=∬_D ∇·Fdxdy

F^->= ∇f^->

∇ x (∇f^->)=0

Circulación=0 si f(x) es armónica

∇·F^->=∇·(∇f)= ∇²f ≠ 0

∇²f =0 Ecuación de Laplace: masas puntuales

∇²f =k Ecuación de Poisson: masas no puntuales

∇²f =∂f/∂t Ecuación del calor: variaciones de Temperatura

∇²f =∂²f/∂t² Ecuación de ondas: transmisión de vibraciones

27) Cálculo de Flujo

F^->=(x,-y)

c^->={c1 (cos³t,sen³t) t∈[0,π/2] ; c2 y=1-x² x∈[0,1]}

∇·F^->=∂x/∂x+∂(-y)/∂y=1-1=0

∫_cF^->·u_N^->dS =Teorema de la divergencia=∬_D∇·F^->dxdy =∬_D0 dxdy =0

29) Integral de Línea

i) f=x+√y-z²

C={c1 y=x² x=0 x=1 z=0 ; c2=recta(1,1,0),(1,1,1)}

C1={x dx y=x² dy=2xdx c1´=(1,2x) ||c1^->||=√(1+4x²)}

∫_c1fdS =∫₀¹( x+x-0 )√( 1+4x² )dx =∫₀¹2x√(1+4x² )dx

={d/dx(1+4x²)^3/2=3/2(1+4x²)^1/2·4·2x=6·2x√(1+4x²)}

= 1/6[(1+4x²)^3/2]₀¹= (5^3/2-1)/6

C2={x=1 dx=0 y=1 dy=0 z dz c2^->=(0,0,1) ||c2^´->||=1}

∫_c2fdS =∫₀¹( 1 + 1 - z²)dz =∫₀¹( 2 -z²) dz = [ 2z-z³/3 ]₀¹= 2-1/3=5/3

∫_cfdS =∫_c1fdS+∫_c2fdS=(5^3/2-1)/6 +5/3

ii) ∫2xy²dx+(x²+y²)dy C(0,-4) (5,0)

a) elipse x²/25+y²/16=1 y=-4/5√( 25- x²) dy=4xdx/5√(25- x²)

b) recta y=4x/5-4 dy=4dx/5

No se parecen en nada una integral de otra porque el campo no es conservativo.

30) Comparación de Integrales de Línea

F^->=(x,y,z)

r1^->=(t,t²,t⁴) t=0 t=1 r1^´->(1,2t,4t³)dt

r2^->=(t,t,t) r2^´->(1,1,1)

∫_r2F^->·r^´->dt=3/2

∫₀¹F^->·r^´->dt =∫₀¹( t ,2t³,4t⁷)dt =[t²/2+2t⁴/4+4t⁸/8]₀¹=3/2

Cálculo del rotacional:

∇ x F^->=|i j k ; ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z ; x y z|=i(0)-j(0)+k(0)=0

Si es conservativo darían las dos integrales igual, y si no, no. Si ∇ x F^->= 0 es conservativo, luego la integral de línea no depende del camino.

31) Integral de Línea sobre una Curva Cerrada

C={ C1= y=x² x=0 x=2 dy=2xdx c1´^->=(1,2x) ||c1´^->||=√(1+4x²) ; C2=recta horizontal (2,4) (0,4) x y=4 c2´^->=(1,0) ||c2´^->||= 1 ; C3=recta vertical (0,4) (0,0) x=0 y c3´^->=( 0 , 1 ) ||c3´^->||=1 }

∫_c(x-y) dS =∫_c1(x-y)dS+∫_c2(x-y)dS+∫_c3(x-y)dS=∫₀²(x-x²)√(1+4x²) dx+∫₂⁰(x-4)dx+∫₀⁴-ydy

32) Circulación y Flujo en una Elipse

v(x,y)=(2y,3x)

C elipse x²/4+y²=1

y²=1-x²/4

y=+√(1 - x²/4 ) x=2 x=-2

y= -√(1- x²/4) x=-2 x=2

dS^->=r^´->dt

dS=||r^´->||dt

r(x,y)

r^´->=(dy/dx)

Circulación: ∫_cv^->·dS^->=Teorema de Green=∬_E( ∂Q/∂x-∂P/∂y )dxdy =∬_E( 3-2 )dxdy =∬_Edxdy =2π (ver paso en ejercicios anteriores)

Flujo: ∫_cv^->·U_N^->dS=Teorema de la divergencia=∬_E∇·v(v^->)dxdy =∬_E( ∂Q/∂x-∂P/∂y )dxdy =∬_E 0 dxdy =0

33) Cálculo de la Masa

d=(x²+y²+z²)/2

r^->(t)=(3cost,3sent,2t)

r^´->(t)=(-3sent,3cost,2)

||r^´->||=√(9+4)=√13

0-2π-4π

d=(9cos²t+9sen²t+4t²)/2=(9+4t²)/2

m= ∫_cddS= ∫₀^4π(9+4t²)/2·√13·dt=√13 /2·[9t+4t³/3]₀^4π

34) Cálculo de la Masa (continuación)

r^->=(√2t,√2t,4-t²) t∈[0,1]

r^´->=(√2,√2, -2t)

||r^´->||=√(2+2+4t²)=√(4+4t²)=2√(1+ t²)

d= 3√(4-z)²=3√(4-4+t²)=3√t²=3t

m=∫₀¹3t·2√(1+t²)dt = 6∫₀¹t√(1+t²)dt

1/m∫₀¹√2t·3t·2√(1+t²)dt=6√2/m∫₀¹t²√(1+t²)dt =1/m∫₀¹(4-t²)3t·2√(1+t²)dt