Sistemas de Numeración: Romano y Decimal - Operaciones y Propiedades

Sistemas de Numeración: Romano y Decimal

Existen varios sistemas de numeración. En este documento, nos centraremos en dos: el sistema de numeración romano y el sistema de numeración decimal.

Sistema de Numeración Romano

El sistema de numeración romano utiliza letras mayúsculas a las que se les asigna un determinado valor:

• I: uno
• V: cinco
• X: diez
• L: cincuenta
• C: cien
• D: quinientos
• M: mil

Los símbolos pueden combinarse para representar otros números. Si un símbolo de menor valor está a la derecha de otro de mayor valor, se suman; si se sitúa a la izquierda, se restan.

Ejemplos:

• II = 2
• IV = 4
• VI = 6
• XIV = 14
• CCCL = 350
• DCX = 610
• CMLVI = 956

Reglas adicionales:

• A la izquierda de un símbolo de mayor valor solo se pueden colocar las letras I, X y C.
• La letra I solo puede colocarse delante de V y de X.

Por lo tanto, no se puede escribir LD, ni VL, ni DMCLXVI, ni IL. Para escribir 450, 45, 666 y 49, se debe hacer de la siguiente manera:

• 450 = CDL → 400 + 50
• 45 = XLV → 40 + 5
• 666 = DCLXVI → 600 + 50 + 10 + 5 + 1
• 49 = XLIX → 40 + 9

Sistema de Numeración Decimal

El sistema de numeración decimal utiliza diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

• Es un sistema posicional, lo que significa que el valor de cada cifra depende del dígito y de la posición que ocupa en la cantidad representada.
• Las posiciones, de derecha a izquierda, se denominan: unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc.
• Diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediatamente superior.

Ejemplos:

30413 indica: 3 unidades + 1 decena + 4 centenas + 0 unidades de millar + 3 decenas de millar. Esto es: 30000 + 0 + 400 + 10 + 3.

Redondeo de Números

Cuando se trabaja con números muy grandes, estos pueden aproximarse (redondearse) a otros más fáciles de recordar. Algunas cifras del número se sustituyen por ceros. Por ejemplo, 2407123 puede redondearse a 2407000, con una aproximación a millares. También, el mismo número 2407123, puede redondearse a 2410000, con una aproximación a decenas de millar; o a 2400000, mediante una aproximación a centenas de millar.

Para redondear un número a un determinado orden de unidades:

1. Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden.
2. Si la primera cifra sustituida es 5 o mayor, se suma una unidad a la cifra anterior.

Operaciones con Números Naturales

La suma y el producto cumplen las propiedades conmutativa y asociativa.

• Conmutativa: 7 + 4 = 4 + 7; 7 · 4 = 4 · 7. En general: a + b = b + a; a · b = b · a
• Asociativa: (7 + 8) + 12 = 7 + (8 + 12); (7 · 8) · 12 = 7 · (8 · 12)

El paréntesis indica que la operación que contiene debe realizarse en primer lugar. Por lo tanto:

(7 + 8) + 12 = 15 + 12 = 27 y 7 + (8 + 12) = 7 + 20 = 27

Propiedad Distributiva

Se expresa de la siguiente manera: a · (b + c) = a · b + a · c y a · (b - c) = a · b - a · c

Ejemplos:

a) 3 · (5 + 8) = 3 · 5 + 3 · 8 = 15 + 24 = 39

Si se suma primero el paréntesis: 3 · (5 + 8) = 3 · 13 = 39

b) 7 · (12 - 3) = 7 · 12 - 7 · 3 = 84 - 21 = 63

Si se resta primero el paréntesis: 7 · (12 - 3) = 7 · 9 = 63

La División

La división de 100 entre 4 es 25 → 100 : 4 = 25. Se cumple que 100 = 4 · 25. Es una división exacta.

La división de 100 entre 6 no es exacta. Da como cociente 16 y como resto 4 → 100 = 6 · 16 + 4.

En general, se cumple: Dividendo = divisor × cociente + resto → D = d · c + r