Sistemas de Ecuaciones Lineales y Álgebra Vectorial: Métodos de Resolución y Conceptos Clave

Método de Gauss

Consiste en transformar un sistema lineal A·X = B en otro equivalente C·X = D, de forma que todos los elementos de la matriz C que queden por debajo de c₁₁, c₂₂, c₃₃... sean 0.

Regla de Cramer

Consideremos un sistema de ecuaciones lineales A·X = B, donde A es una matriz cuadrada de orden n y además |A| ≠ 0. Entonces:

• El sistema es compatible determinado y su única solución viene dada por S = (|A₁|/|A|, |A₂|/|A|, ..., |A_n|/|A|), siendo A_i la matriz que resulta de cambiar la i-ésima columna de la matriz A por la columna de los términos independientes.

Resolución de un sistema mediante una ecuación matricial

Consideremos un sistema de ecuaciones lineales A·X = B, donde A es una matriz cuadrada de orden n y además |A| ≠ 0. Entonces: al ser |A| ≠ 0, existe A^-1, por lo que:

A·X = B

A^-1·A·X = A^-1·B

X = A^-1·B

Teorema de Rouché-Frobenius

Consideremos un sistema de ecuaciones lineales A·X = B. Sea A* = (A|B) (matriz ampliada del sistema). Entonces:

1. Si rango(A) ≠ rango(A*), el sistema es incompatible.
2. Si rango(A) = rango(A*) = al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.
3. Si rango(A) = rango(A*) ≠ al número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

Vector unitario

Un vector unitario tiene de módulo la unidad.

La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.

Producto escalar: definición, propiedades y aplicaciones

Definición

Dados dos vectores, u, v, llamamos producto escalar de esos vectores a:

u∙v = |u||v| cos α, siendo α el ángulo formado por los dos vectores.

Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u hacia v. Su módulo es igual a: |u x v| = |u||v| sen α, siendo α el ángulo formado por los dos vectores.