Semiótica y Cognición: Claves para Entender el Pensamiento Matemático

Semiótica: La Ciencia de los Signos

La semiología, también conocida como semiótica, es la ciencia que estudia los sistemas de signos: lenguas, códigos, señalizaciones, etc. Ferdinand de Saussure la concibió como "la ciencia que estudia la vida de los signos en el seno de la vida social".

Tres Actividades Cognitivas Ligadas a la Semiosis

La Formación de una Representación Identificable

Para lograr la formación de una representación identificable, debemos seleccionar rasgos y datos del contenido a representar. Esta selección depende de las unidades y reglas de formación propias del registro semiótico en el que se produce la representación.

Dicha formación debe respetar las reglas del registro, asegurando las condiciones de identificación y reconocimiento de la representación, así como su utilización para los parámetros. Estas son reglas de conformidad, no de producción efectiva por parte del sujeto (Duval, 1999-b, p. 177).

El Tratamiento de una Representación

El tratamiento de una representación implica una transformación dentro del mismo registro en el que se ha formado. El tratamiento es una transformación interna a un registro.

Cada registro posee reglas de tratamiento específicas, cuya naturaleza y cantidad varían considerablemente (Duval, 1999-b, p. 178). Por ejemplo, en el lenguaje algebraico, (a+b)² (un binomio elevado al cuadrado) se encuentra en un registro como expresión algebraica. Esta expresión puede transformarse en un producto de binomios o mediante la ley distributiva, permaneciendo en el mismo registro algebraico.

La Conversión de una Representación

La conversión de una representación se refiere a la transformación de dicha representación a otra de un registro diferente. La conversión es una transformación externa al registro de partida.

En el lenguaje gráfico, la función y = x² es una expresión algebraica que, al ser transformada a otro registro, puede representar una parábola en los ejes coordenados. También puede transformarse a un registro de tabulación, mostrando que el contradominio es el cuadrado de cada elemento del dominio, o a un registro de pares ordenados, donde las ordenadas son el cuadrado de las abscisas. A pesar de la diversidad de registros, la idea de función se mantiene.

Según Duval, para que los pasajes de una representación a otra sean espontáneos y congruentes, deben cumplir tres condiciones:

• Correspondencia semántica entre las unidades significantes.
• Igual orden posible de aprehensión de estas unidades en ambas representaciones.
• Conversión de una unidad significante en la representación de partida a una única unidad significante en la representación de llegada.

Intuición

La intuición, un concepto de la epistemología, describe un conocimiento directo e inmediato, sin intervención de la deducción o el razonamiento, siendo habitualmente autoevidente.

¿Qué se entiende por intuición?

Algunos consideran la intuición como algo despreciable para las ciencias debido a su inmediatez, mientras que otros la ven como la fuente fundamental de cierto conocimiento. Otros creen que representa un método particular para captar la verdad, la esencia de la realidad. En nuestra interpretación, la intuición es una cognición caracterizada por las siguientes propiedades (Fischbein, 2004):

• La autoevidencia y la inmediatez: Una cognición intuitiva se presenta subjetivamente al individuo como directamente aceptable, sin necesidad de justificación intrínseca.
• La certeza intrínseca: Aunque la autoevidencia y la certidumbre están relacionadas, no son reducibles una a la otra. La alta intuitividad implica la combinación de un fuerte sentimiento de evidencia con un elevado nivel de confianza.
• La perseverancia: Las intuiciones son adquisiciones estables, resistentes a interpretaciones alternativas.
• La coercitividad: Las intuiciones ejercen un efecto coercitivo sobre las estrategias de razonamiento del individuo y su selección de hipótesis y soluciones. Las actitudes erróneas cognitivas inmaduras pueden persistir incluso después de recibir representaciones y soluciones adecuadas.
• El status de la teoría: Una intuición es una teoría, no una mera habilidad o percepción. Expresa una propiedad general percibida a través de una experiencia particular.
• La extrapolaridad: A través de la intuición, extrapolamos indirectamente, a partir de información limitada, a datos que están más allá de nuestra percepción directa (por ejemplo, de lo finito a lo infinito).
• La globalidad: Una intuición es una cognición estructurada que ofrece una visión unitaria y global, en contraste con el pensamiento lógico, que es explícito, analítico y discursivo.
• La implicitez: Aunque aparentemente autoevidentes, las intuiciones se basan en complejos mecanismos de selección, globalización e inferencia.
• La función conductual cognitiva de las intuiciones: La intuición es análoga a la percepción en el papel simbólico.

Duval (1993) define un registro de representación como un sistema de signos utilizado para representar una idea u objeto matemático, que debe ser identificable, permitir el tratamiento (manipulación y transformación dentro del mismo registro) y la conversión a otro registro (transformación total o parcial).

Conceptos Clave

Epistemología

Rama de la filosofía cuyo objeto de estudio es el conocimiento científico. La epistemología se ocupa de las circunstancias históricas, psicológicas y sociológicas que llevan a la obtención del conocimiento, y los criterios para justificarlo o invalidarlo. Tiene una estrecha relación con la historia de la matemática. La epistemología estudia cómo ha evolucionado la enseñanza de las matemáticas y cómo el alumno adquiere este conocimiento.

Transposición Didáctica

es la transformación del saber científico o saber erudito en un saber posible de ser enseñado. (desdes el punto de vista d las matematicas es la transformacion de las matematicas formales a matematicas escolares).
El momento exploratorio: es la dimensión del proceso de estudio en que tiene lugar la indagación más específica
de un tipo de problemas previamente encontrado o presentado.
el momento tecnológicoteórico es aquella dimensión del estudio que hace referencia a la necesidad de explicación y justificación de la actividad, es decir, en la cual aparecen los elementos tecnológicos y teóricos para el estudio en el sentido
anteriormente señalado.
El momento de la institucionalización: corresponde a ladimensión del proceso didáctico en que se hace visible y
se oficializa la actividad desarrollada hasta aquel instante.
Finalmente el momento de la evaluación: corresponde a aquel aspecto de la actividad en que se pone a prueba el
dominio que tiene un sujeto sobre la organización matemática construida.

Didactica: LA DDM es una ciencia que estudia el comportamiento de los alumnos, profesores y enseñanaza. Tambien estudia los factores que influyen en el aprendizaje ya sea comportamiento, alumnos, profesorres. La influencia de la sociedad entre otros. La DDM puede ser vista desde tres puntos ya sea como un saber cintifico, saber tecnologico, y saber tècnico.
Contrato didactico: Es el conjunto de clausulas (estas cluasulas poseen un caracter ìmplicito) que rigen entre el alumno, el profesor y el saber en juego.
situacion didactica: es la situacion que espera un profesor que suceda, osea, el prfesor plantea una situacion y espera que el alumno se comprometa con ella y trate de resolverla. En una situacion didactica esta presente el profesor , el alumno y la materia a enseñar (conocimiento).
epistemologia:
Los sistema semióticos deben cumplir las tres actividades cognitivas inherentes a toda representación:
1. Construir una traza ¡dentificable como una representación de alguna cosa en un sistema determinado.
2. Transformar las representaciones usando las reglas propias al sistema de manera de obtener otras representaciones que pueden constituir un aporte de conocimiento en relación a las representaciones iniciales.
3. Convertir las representaciones producidas en un sistema en representaciones en otro sistema, de tal manera que éstas últimas permitan explicar otras significaciones relativas a lo que está representado.
Nosotros llamaremos Registros de Representaciones Semióticas a todos los sistemas que permitan estas tres actividades cognitivas fundamentales; se trata de:
El lenguaje natural.
Los lenguajes simbólicos.
Los gráficos y las figuras geométricas
Tres fenómenos están ligados a los aprendizajes fundamentales relativos al razonamiento, a la comprensión de textos y al tratamiento lógico y matemático.
1) La diversificación de los registros de representación semiótica.
2) La diferenciación entre representante y representado, es decir, entre forma y contenido.
3) La coordinación entre los diferentes registros de representación semiótica: reglas de correspondencia entre dos sistemas y congruencia o no - congruencia entre las representaciones producidas en sistemas diferentes.
Se trata de distinguir, además, las actividades de tratamiento de las actividades de conversión de representaciones.
Un tratamiento es una transformación que se efectúa al interior de un mismo registro: un tratamiento no se moviliza, por consiguiente, sino en un solo registro de representación
La conversión es, al contrario, una transformación, que hace pasar de un registro a otro. Ella requiere por lo tanto su coordinación en el sujeto que la efectúa.
El estudio de esta actividad de conversión debe por lo tanto permitir comprender la naturaleza de la estrecha unión entre semiósis y noésis.
Representaciones Semióticas: Producciones constituidas por el empleo de signos (enunciado en lenguaje natural, fórmula algebraica, gráficos, figuras geométricas) no parecen ser más que el medio del cual dispone un individuo para exteriorizar sus representaciones mentales; es decir; para hacerlas visibles o accesibles a los otros.
Semiósis: Es la aprehensión o la producción de una representación semiótica.
Noésis: los actos cognitivos como la aprehensión conceptual de un objeto.
Raymond Duval, dice: "Las representaciones semióticas, como conjuntos de signos, son el medio de expresión de las representaciones mentales para hacerlas visibles o comunicarlas a otro individuo."
El análisis del desarrollo de los conocimientos y de las dificultades en los aprendizajes matemáticos enfrenta tres fenómenos que están estrechamente ligados:
Diversificación de los registros de representación semiótica (esquemas, figuras geométricas, gráficos cartesianos, tablas). Es necesario disponer de varios sistemas de signos que funcionan como registros de representación para las funciones de tratamiento y de objetivación. Cada representación diferente plantea preguntas específicas sobre el aprendizaje.
Diferenciación entre representante y representado: esta diferencia entre forma y contenido está asociada a la comprensión de lo representado y, por tanto, a la asociación e integración de otras representaciones en los procedimientos de tratamiento.
Coordinación entre los diferentes registros: es necesaria para que pueda haber allí diferenciación entre las representaciones y los objetos representados. Conocer las reglas de correspondencia entre distintos sistemas semióticos no es suficiente para que puedan ser movilizados y utilizados conjuntamente.
El mayor problema para esta coordinación espontánea reside en la no congruencia entre las representaciones producidas en los diferentes sistemas.
Un análisis sobre los aprendizajes intelectuales debe tener presente estos tres fenómenos relativos a la semiosis y a la operación de conversión correspondiente. Generalmente no se hace distinción entre las actividades de tratamiento y de conversión de las representaciones y es necesario separarlas.
Sabemos que:
Un tratamiento es una transformación que se realiza en el interior de un mismo y único registro.
La conversión es una transformación que permite pasar de un registro a otro. Su coordinación está a cargo del sujeto que la realiza.
Precisamente la separación de estas dos actividades permite percibir las dificultades relativas a la conversión y la importancia del fenómeno de encerramiento de los registros.
El problema de traducción entre sistemas de representación es central dentro del proceso de aprendizaje, puesto que es el que permite la integración y el monitoreo de las cogniciones y, por consiguiente, la construcción de estructuras mentales complejas.
Duval, R , dice: "No hay conocimiento que un sujeto pueda movilizar sin una actividad de representación".
Tipos de registros:
Gráfico:
La representación del objeto o noción, se obtiene a través de la combinación de signos: punto, recta, curva, etc. (sistema cartesiano ortogonal).
Algebraico:
La representación del objeto se obtiene por una asociación de signos, letras y . números, que expresan polinomios, ecuaciones, etc.
Formal:
Está constituido por el simbolismo elemental de expresión en Matemática y en particular por las notaciones funcionales.
Lenguaje natural
La representación está expresada por los signos del lenguaje natural (castellano en este caso).
Incidencia de las Nuevas Tecnologías
En el último cuarto del siglo XX la enseñanza de la matemática ya reclamaba un cambio radical, se percibía la necesidad de abandonar la rutina y el esquematismo existente.
*** VISUALIZACION ****; La visualización matemática tiene que ver con el entendimiento de un enunciado y la puesta en marcha de una actividad, que si bien no llevará a la respuesta correcta sí puede conducir al resolutor a profundizar en la situación que se está tratando. Una de las características de esta visualización es el vínculo entre representaciones para la búsqueda de la solución a un problema determinado.
Mientras que Cantoral y colaboradores (2000, p. 146), escriben que:
... se entiende por visualización la habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar información visual. En este sentido se trata de un proceso mental muy usado en distintas áreas del conocimiento matemático y, más generalmente, científico.
"De los dos párrafos anteriores, se destacan posturas que convergen, si no textualmente, sí en las ideas, pues Hitt habla de un vínculo entre representaciones, mientras que Cantoral señala una habilidad para representar, además de considerar a la visualización como un proceso que es empleado en la matemática (y demás ciencias)."
¿Qué entendemos por pensamiento matemático?
Se refiere a las formas en que piensan las personas que se dedican profesionalmente a las matemáticas. Los investigadores sobre el pensamiento matemático se ocupan de entender cómo interpreta la gente un contenido específico, en nuestro caso, las matemáticas. Se interesan por caracterizar o modelar los procesos de comprensión de los conceptos y procesos propiamente matemáticos (p. 18).
Cantoral y coautores describen tres formas distintas de interpretarse el pensamiento matemático (p. 19), a saber:
· ...reflexión espontánea que los matemáticos realizan sobre la naturaleza de su conocimiento y sobre la naturaleza del proceso de descubrimiento e invención en matemáticas.
· ...parte de un ambiente científico en el cual los conceptos y las técnicas matemáticas surgen y se desarrollan en la resolución de tareas.
· ...se desarrolla en todos los seres humanos en el enfrentamiento cotidiano a múltiples tareas.