Resolución de Sistemas de Ecuaciones: Métodos y Problemas Prácticos

Sistemas de Ecuaciones: Métodos de Resolución y Aplicaciones Prácticas

A continuación, se presenta una descripción detallada de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones, junto con ejemplos prácticos y problemas de aplicación.

Resolución de Sistemas Lineales de Tres Ecuaciones con Tres Incógnitas

1. Despeje de una incógnita: Buscaremos una incógnita que sea fácil de despejar. Por ejemplo, "x".
2. Sustitución: Sustituiremos "x" en las otras dos ecuaciones.
3. Simplificación: Trabajamos para simplificar la ecuación y luego sustituimos "x" en la tercera ecuación.
4. Igualación: Juntamos las dos últimas ecuaciones resueltas y aplicamos el método de igualación.
5. Hallar "y" y sustituir: Al hallar "y", sustituimos este valor en la ecuación sencilla para hallar "z".
6. Hallar "x": Cuando hemos hallado "z" e "y", vamos a la ecuación despejada y hallamos "x".
7. Solución: La solución se expresa así: (x, y, z).

Método Gráfico

1. Despejar "y" en la primera ecuación: Tomamos la primera ecuación y despejamos "y".
2. Tabla de valores: Hacemos una tabla de valores para asignar valores a "x" y calcular los correspondientes valores de "y".
3. Despejar "y" en la segunda ecuación: Tomamos ahora la segunda ecuación y despejamos "y".
4. Tabla de valores (segunda ecuación): Volvemos a hacer una tabla de valores para asignar valores a "x" y calcular los de "y", procurando que sean números enteros.
5. Representación gráfica: Representamos los puntos de las tablas de valores y dibujamos las rectas.
6. Punto de intersección: Ambas rectas se cortarán en un punto, siendo esa la solución de las dos ecuaciones.

Resolución Gráfica de un Sistema Parábola-Recta

Sistema:

x² - 2x + y - 3 = 0

2x - y + 2 = 0

1. Despejar "y" en la primera ecuación: y = -x² + 2x + 3. Esta es la ecuación de una parábola.
2. Hallar el vértice de la parábola:
   • Xv = -b / 2a = -2 / (2 * -1) = 1
   • Yv = -(1)² + 2 * 1 + 3 = 4
3. Tabla de valores para la parábola: Elaboramos una tabla de valores y damos valor a la "x", hallando puntos de la ecuación "y" a la derecha e izquierda del vértice.
4. Despejar "y" en la segunda ecuación: y = 2x + 2. Esta es la ecuación de una recta.
5. Representación gráfica: Dibujamos en el gráfico lo realizado en la tabla de valores. Los puntos donde se corten la recta y la parábola son la solución del sistema. En este caso: (-1, 0), (1, 4).

Problemas de Aplicación

Problema 1: Mezcla de Café

Mezclo café de 2,4€/kg con café de 3,2€/kg y obtengo una mezcla de 10kg de café a 3€/kg. ¿Cuántos kilos mezclo de cada clase?

Sistema de ecuaciones:

x + y = 10

2,4x + 3,2y = 30

Problema 2: Mezcla de Vino

En una vinoteca mezclan vino de 2,5€/litro con vino de 4,8€/litro para obtener 800 litros de vino que van a vender a 3,5€/litro. ¿Cuántos litros debo poner de cada tipo de vino?

Sistema de ecuaciones:

x + y = 800

2,5x + 4,8y = 2800

Problema 3: Edades del Padre e Hijo

La edad de un padre excede en 6 años al triple de la edad de su hijo. Calcula ambas edades sabiendo que hace 4 años la edad del padre excedía al cuadrado de la del hijo en 10 años.

Sistema de ecuaciones:

6 + 3x = 3y

10 - 4 + x² = y²

Problema 4: Edades de Dos Hermanos

La suma de las edades de dos hermanos es 24 y hace dos años una era el cuadrado de la otra. ¿Cuántos años tienen?

Sistema de ecuaciones:

x + y = 24

x - 2 = (y - 2)²

Problema 5: Ejercicios Resueltos

Por cada ejercicio bien resuelto te daremos 7 euros y por cada mal resuelto nos darás 5 euros. Después de hacer 25 ejercicios, la joven se encuentra con 55 euros. ¿Cuántos ejercicios ha resuelto bien?

Sistema de ecuaciones:

x + y = 25

7x - 5y = 55

Problema 6: Área de un Triángulo

El área de un triángulo es 78 cm² y entre la base y la altura suman 25 cm. Calcula la base y la altura.

Sistema de ecuaciones:

x + y = 25

(x * y) / 2 = 78

Problema 7: Triángulo Rectángulo

El área de un triángulo rectángulo es 120 cm² y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos?

Sistema de ecuaciones:

(x * y) / 2 = 120

26² = x² + y²

Problema 8: Área de un Rectángulo

El área de un rectángulo es 108 cm² y la diagonal mide 15 cm. Halla los lados.

Sistema de ecuaciones:

xy = 108

15² = x² + y²

Problema 9: Dimensiones de Rectángulos

Las dimensiones de un rectángulo son 9 y 7 m y las de otro son 12 y 5 m. Halla las de un tercer rectángulo del mismo perímetro que el primero y el mismo área que el segundo.

Sistema de ecuaciones:

2x + 2y = 32

xy = 60

Problema 10: Suma de Áreas de Círculos

La suma de los radios de dos círculos es 70 cm y la suma de sus áreas es igual al área de un tercer círculo de 50 cm de radio. ¿Cuál es el radio de los dos primeros círculos?

Sistema de ecuaciones:

πx² + πy² = π * 50²

x + y = 70