Resolución de Problemas de Mezclas, Interés Compuesto y Carreras con Ecuaciones Diferenciales

Problemas Resueltos con Ecuaciones Diferenciales

2.2.23: Problema de Mezclas

Un tanque contiene 400 litros de agua y 2 kg de sal. Se introduce una solución con una concentración de 0.3 kg/L de sal a una tasa de 10 L/min. Simultáneamente, la mezcla sale del tanque a la misma tasa. ¿Cuál es la masa de sal en el tanque después de 10 minutos?

La tasa de cambio de la cantidad de sal en el tanque, A(t), se describe por la ecuación:

(dA/dt) = rapidez de entrada de sal - rapidez de salida de sal

Rapidez de entrada de sal:

ReCe = (10 L/min) * (0.3 kg/L) = 3 kg/min

El volumen en el tanque es constante, V = 400 L.

La concentración de sal en la solución que sale es:

Cs = A(t) / V = A(t) / 400 kg/L

Rapidez de salida de sal:

RsCs = (10 L/min) * (A(t) / 400 kg/L) = A(t) / 40 kg/min

La ecuación diferencial que describe el cambio de sal en el tanque es:

(dA/dt) = 3 - (A(t) / 40) -> A'(t) + (A(t) / 40) = 3

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Resolviendo el PVI:

(dA /dt) = 3 −( A /40) = (120 − A )/40

Separando variables e integrando:

(40/(120 – A)) dA = dt ⇒ −40 ln |120 − A| = t + C

⇒ ln |120 − A| = − (t/40) + C

⇒ 120 − A = Ce^(-t/40)

⇒ A = 120 – Ce^(-t/40)

Condición inicial: A(0) = 2 kg

2 = 120 − C ⇒ C = 118

La solución es: A(t) = 120 − 118e^(-t/40)

Después de 10 minutos:

A(10) = 120 − 118e^(-10/40) ≈ 28.1 kg

2.2.37: Interés Compuesto

Un modelo para el interés compuesto es la ecuación diferencial:

dP / dt = (r / 100) P

Donde P es la cantidad de dinero, r es la tasa de interés anual y t es el tiempo en años.

Resolviendo la ecuación diferencial:

∫ (1 / P) dP = r / 100 ∫ dt ⇒ ln P = (r / 100) t + C ⇒ P (t) = Ke ^ (rt / 100)

Si la cantidad inicial es K = $1000 y la tasa de interés es r = 5%:

P (t) = 1000e ^ (5t / 100)

(a) Cantidad después de 2 años:

P (2) = 1000e^(10 / 100) = $1105.17

(b) Tiempo para alcanzar $4000:

4000 = 1000e ^ (5t / 100) ⇒ e ^ (5t / 100) = 4 ⇒ t = 20 ln 4 ≈ 27.73 años

(c) Depósitos adicionales:

Para depósitos anuales de $1000 durante 3.5 años, la cantidad total es:

P = 1000 [e^(5(3.5)/100) + e^(5(2.5)/100) + e^(5(1.5)/100) + e^(5(0.5)/100)] ≈ $4,427.59

2.2.39: Carrera del Gran Premio

Un piloto A se queda sin gasolina y su velocidad disminuye según la ecuación:

dvA/ dt = −k(vA^2), con vA(0) = vB

Donde vB es la velocidad constante del piloto B y k > 0 es una constante.

Resolviendo la ecuación diferencial:

dvA /(vA^2) = −k dt ⇒ ∫ dvA / vA^2 = − ∫ k dt ⇒ 1 /vA(t) = kt + C

Con la condición inicial:

1/ vB = 1/ vA(0) = k · 0 + C = C ⇒ C = 1/ vB

Por lo tanto:

vA(t) = 1 /(kt + 1/vB) = vB/( vBkt + 1 )

La distancia recorrida por el piloto A es:

ds/ dt = vB / (vBkt + 1), s(0) = 0

Integrando:

s(t) = ∫ (vB/ (vBkt + 1)) dt = (1 / k) ln (vBkt + 1) + C1

Usando la condición inicial:

0 = s(0) = (1/ k) ln (vB*k * 0 + 1) + C1 = C1 ⇒ C1 = 0

Entonces:

s(t) = (1/ k) ln (vBkt + 1)

Cuando la velocidad del piloto A se reduce a la mitad, vA(t1) = vB/2:

(1 /2) vB = vA(t1) = (vB/ vBkt1 + 1) y 1 = s(t1) = (1/ k) ln (vBkt1 + 1)

⇒ vBkt1 + 1 = 2 y k = ln (vBkt1 + 1) = ln 2

⇒ s(t) = (1/ ln 2) ln (vBt ln 2 + 1)

El piloto B termina la carrera en tB = 5 / vB. La distancia recorrida por el piloto A en ese tiempo es:

s(tB) = (1/ ln 2) ln (vBtB ln 2 + 1) = (1/ ln 2) ln ((5/ vB) vB ln 2 + 1)

= (1/ ln 2) ln (5 ln 2 + 1) ≈ 2.1589 > 2 millas

Por lo tanto, el piloto A gana la carrera.