Resolución de Problemas Matemáticos Aplicados: Ejemplos Prácticos

Resolución de Problemas Matemáticos Aplicados

1. Análisis de Precio de Palta en Función de la Temperatura

a) Determine e Interprete P(t)

Dado que:

• P(c) = 1300 - 4c
• c(t) = -t²/3 + 10t + 5

Entonces:

P(t) = 1300 - 4(-t²/3 + 10t + 5)

RP: La función P(t) corresponde al precio por KG de palta que depende de la temperatura promedio.

b) ¿Cuál sería el precio del kilogramo de palta, si la temperatura promedio durante la temporada fue de 14°C?

Si t = 14:

P(14) = 1300 - 4(-14²/3 + 10*14 + 5)

P(14) = 2944/3 ≈ 981.33

RP: Si la temperatura fue de 14°C, el precio por KG de palta es $981.33

2. Análisis de la Tarifa de un Taxi

a) Complete la gráfica de la función indicando:

• Nombre de los ejes: y = tarifa en pesos, x = km recorridos.
• Determine e interprete el eje y: f(x) = 375x + 3500

f(0) = 0 + 3500 => f(0) = 3500

RP: El costo inicial al subir al taxi es $3500

b) Marque (destaque) la porción de la gráfica que corresponde al dominio empírico...:

Dominio Empírico: [0, 22]

f(22) = 375x + 3500

Coordenadas: [0, 3500] [22, 11750]

f(22) = 375 * 22 + 3500 = 11750

c) ¿Cuánto se debe pagar por un viaje de 16km?

F(16) = 375x + 3500

F(16) = 375 * 16 + 3500 = 9500

RP: El costo por recorrer 16KM es de $9500

3. Análisis de la Rapidez y Aceleración

a) Determine e interprete p'(2)

Dado que:

p(x) = 1/96 x⁴ - 2/3 x³ + 12.5x²

p'(x) = 4 * 1/96 x³ - 3 * 2/3 x² + 12.5 * 2x

p'(x) = 1/24 x³ - 2x² + 25x

p'(2) = 1/24 * 2³ - 2 * 2² + 25 * 2

p'(2) = 42.3

RP: La rapidez a las 2 horas es de 42.3 km/h

b) Determine e interprete p''(2)

Dado que:

p'(x) = 1/24 x³ - 2x² + 25x

p''(x) = 3 * 1/24 x² - 2 * 2x + 25

p''(x) = 1/8 x² - 4x + 25

p''(2) = 1/8 * 2² - 4 * 2 + 25

p''(2) = 17.5

RP: La aceleración a las 2 horas es de 17.5 km/h²

4. Análisis de Utilidades

a) Determine el dominio empírico de la función:

[0, 3]

b) ¿Durante qué periodo las utilidades disminuyen?

Dado que:

p(x) = 25/24 x³ - 2.5x² + 1.8

p'(x) = 25 * 3/24 x² - 2.5 * 2x + 0

p'(x) = 25/8 x² - 5x

x1 = 0

x2 = 40/25 => 1.6

p'(x) = 0 => 25/8 x² - 5x = 0 => x(25/8x - 5) = 0

x1 = 0

25/8x - 5 => x2 = 40/25

c) ¿Cuándo y cuál es el valor de la mayor utilidad?

p''(x) = 25/8 x² - 5x

x_1 = 0 MAX

p''(x) = 50/8 x - 5

x_2 = 1.6 MIN

p''(0) = -5 (¨) max

p''(1.6) = 5 (_) min

RP: Las utilidades bajan entre 0 y 1.6 años.

x | 0 | 1.6 | 3

----|-----|----- |-------|

P(x) | 1.8 |-0.33 |7.425|

-------------------------

P(x) = 25/24 x³ - 2.5 x² + 1.8

p(0) = 0 - 0 + 1.8 = 1.8

p(1.6) = 25/24 * 1.6³ - 2.5 * 1.6² + 1.8 = -0.33

p(3) = 25/24 * 3³ - 2.5 * 3² + 1.8 = 7.425

7.425 * 1000000 = 7425000

La Mayor utilidad fue al 3er año que corresponde a 7.425.000 euros.

5. Ingreso Marginal

Una empresa importadora estima que su ingreso marginal es:

IM(x) = 5e^(-0.2x) + 0.002x + 1

I(x) = ∫ IM(x) dx = -5e^(-0.2x) / 0.2 + 0.002x²/2 + x + c

I(x) = -5e^(-0.2x) + 0.01x² + 1x + c

I(70) = 124

124 = -5e^(-0.2 * 70) + 0.01 * 70² + 70 * 1 + c

124 - 118.999 = c

c = 5.000004 ≈ 5

I(x) = -5e^(-0.2x) + 0.01x² + 1x + 5

6. Excedente del Productor

Hallar el excedente de los productos cuando el precio es de 13 calculadoras.

EP = y₀ * x₀ - ∫₀^(x₀) O(x) dx

x₀ = 13

y₀ = O(13) = 2 * 13² + 2 * 13 + 7600

y₀ = 7964

O(x) = 2x² + 2x + 7600

∫ O(x) = 2/3 x³ + x² + 7600x + C

∫₀¹³ O(0) = 0

∫₀¹³ O(13) = 2/3 * 13³ + 13² + 7600 * 13 = 100433.7

EP = 13 * 7964 - 100433.7 = 3098.3

El excedente del producto al vender 13 calculadoras es $3098