Representación de Sistemas Dinámicos: Variables de Estado y Funciones de Transferencia

Representación de Sistemas Dinámicos: Variables de Estado

Ecuaciones en Variables de Estado

Ejercicio 1: Si se requiere hallar la representación gráfica del sistema, dada una ecuación, se representa en un diagrama de bloques. Esto implica despejar la derivada de mayor orden en función de las demás variables. Se inicia con la entrada U(t) y se finaliza con la salida Y(t).

Ejercicio 2: Dada la representación matricial, para obtener las ecuaciones del sistema:

1. Identificar las matrices A, B, C y D.
2. Representar las matrices en ecuaciones, por ejemplo, X1 punto, X2 punto, etc.
3. Realizar la representación en diagrama de bloques. Si hay tres ecuaciones (sin contar la salida), se utilizan tres líneas. Se comienza con U(t) y se avanza hasta Y(t).

Variables de Estado de Fases

Si se pide hallar la representación en variables de estado de fases de una función de transferencia G(s):

1. Expresar la función como Y(s) con el denominador y U(s) con el numerador. Resolver para obtener una ecuación que incluya términos como S^3y(s), etc.
2. Asumiendo condiciones iniciales nulas, transformar la ecuación a Y(t), por ejemplo, Y(tres puntos)(t).
3. Definir los cambios de variables: x1 = y, x2 = y punto = x1 punto, y así sucesivamente.
4. Establecer las ecuaciones de estado: X1 punto = x2, X2 punto = x3, y la ecuación principal X3 punto = a todos los términos transformados sin derivar. La entrada U se mantiene igual. Definir la salida Y.
5. Representar la ecuación principal y la salida Y en diagramas de bloques, comenzando con U y terminando con Y.

Función de Transferencia a partir de la Representación Matricial

Ejercicio 2: Si se proporciona la representación matricial y se busca obtener la función de transferencia:

1. Aplicar la fórmula: G(s) = Y(s)/U(s) = C(SI-A)^-1 .B + D.
2. Calcular (SI-A).
3. Calcular (SI-A)^-1 = [adj(SI-A)]^T/det(SI-A). Para una matriz de 2x2, si A = | a11 a12; a21 a22 |, entonces adj(A) = | a22 -a12; -a21 a11 |. Luego, trasponer la matriz adjunta. Para una matriz de 3x3, se calcula la matriz de cofactores.
4. Multiplicar por C y D, y resolver para obtener el resultado.

Cálculo de la Salida en el Dominio Temporal

Ejercicio 3: Calcular la salida en el dominio temporal del sistema en variables de estado, dadas las condiciones iniciales X0 = [-2 1] y una entrada escalón unitaria (1/s).

1. Dado el sistema en forma matricial, y requiriendo calcular solo Y, se utilizan las siguientes fórmulas:
   • X(s) = (SI-A)^-1 .X(0) + (SI-A)^-1 .B.U(s)
   • Y(s) = C(SI-A)^-1 .X(0) + [C(SI-A)^-1 .B+D]U(s)
2. Calcular (SI-A), luego (SI-A)^-1, y sustituir U(s) por la entrada escalón unitaria.

Resolver el resultado por fracciones parciales para simplificar y aplicar la transformada inversa de Laplace. Si se proporciona un tiempo específico X, sustituirlo para obtener Y(t).