Relaciones y Funciones

Relación

Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Se denomina Relación de A en B, a toda proposición que permite asociar elementos del conjunto A con elementos del conjunto B.

Sea a un elemento cualquiera del conjunto A, sea b un elemento cualquiera del conjunto B y sea R la relación dada, se dice que:

a R b     ó también         (a,b) ∈ R

a R b     se lee: a está relacionado con b

(a,b) ∈ R    se lee: el par ordenado (a,b) pertenece a la relación R

Al conjunto A se le denomina conjunto de partida y al conjunto B se le denomina conjunto de llegada.

Al elemento b se le denomina, imagen del elemento a.

Dominio de una Relación

Es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados que cumplen con la relación R. Se denota: Dom (R).

Rango de una Relación

Es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados que cumplen la relación R. Se denota: Rgo (R)

Clasificación de las Funciones

Función Inyectiva

Una función es inyectiva cuando a elementos diferentes de A le corresponden elementos diferentes de B.

Para que una función sea inyectiva debe cumplir con la siguiente condición: f(x₁)=f(x₂) 🠒 x₁ = x₂

Función Sobreyectiva

Todo elemento de B es imagen de uno o varios elementos de A. Es decir, todo el conjunto B es Rango de la función       Rgo (f) = B.

f: A -> B es sobreyectiva f(A) = B aquí se cumple que: Rf = Cf.

Función Biyectiva

Cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Es decir, debe cumplir con las siguientes condiciones:

• Si x₁ = x₂  ->       f(x₁) = f(x₂)
• Rf = Cf.

• Es inyectiva porque a los elementos del conjunto A le corresponden imágenes diferentes en B
• Es sobreyectiva porque todo el Conjunto B es Rango
• Es Biyectiva porque es inyectiva y sobreyectiva.

FUNCION INVERSA La inversa de una función f: A-> B biyectiva es otra función que va de B hacia A Cuando la función f se expresa en pares ordenados, su función inversa se obtiene intercambiando los componentes de los pares ordenados que definen la función f. Ejemplo

Función Lineal

Se llama función lineal a la función f: R-> R definida por la ecuación de primer grado f(x) = ax + b, donde a y b son constantes. La gráfica de la función lineal es una línea recta.

La ecuación de la recta puede expresarse en forma implícita o en forma explícita:

• Implícita: Ax + By + C = 0 donde a/
• Explícita: y = ax + b donde a/0

Representación Gráfica de la Función Lineal

Para representar gráficamente una función lineal se requiere conocer, por lo menos, dos puntos de ella. Estos puntos se llevan al plano de coordenadas y se unen a través de una línea recta. La recta trazada será la gráfica de la función lineal dada. Ejemplo:

Representar gráficamente la función y = 2x - 1

Le damos valores arbitrarios a la variable x

(1,1)                                                                                   (2,3)                                (3,5)

DESIGUALDADES:

Cuando dos números "a" y "b" no son iguales, se escribe a f b. Por lo tanto uno de ellos es menor y otro es mayor. Si "a" es el mayor, decimos "a" es

Mayor que "b", también podríamos decir que "b" es menor que "a".

En este sentido, una desigualdad es una expresión que indica que una

Cantidad es mayor o menor que otra. Estas cantidades pueden ser un número real

Conocido o una expresión algebraica que representa un número real.

Los símbolos que se utilizan en las desigualdades son:

>: mayor que

>: mayor o igual que

INTERVALOS

Un intervalo es un segmento de recta formado por un conjunto infinito de los Puntos.   

a             b             (.inf)

                Existen dos tipos de intervalos: los intervalos finitos y los intervalos infinitos.  

Los intervalos finitos están formados por dos números reales conocidos como extremos, que pueden o no pertenecer a él. Estos se clasifican en:

Abierto: (a,b) cuando no se incluyen los extremos e

Cerrado: [a,b1 cuando se incluyen los extremos

Semi-abiertos. Un intervalo es Semi-abierto cuando tienen la forma:

[a,b) = incluye el punto "a" pero no incluye el punto "b"

(a,b} = no incluye el punto "a" pero si incluye el punto "b".

•

Los intervalos infinitos. Son aquellos donde se conoce solo uno de los       •

extremos: (-o) ,a) , (a, o) ) , (-o), aj , [a,(0) , (-o), o))     •

FUNCIONES

Dados los conjuntos no vacíos A y B, se denomina función de A en 6 a toda relación que asocia a cada elemento del conjunto A con un elemento del conjunto B.

Es decir, a cada uno de los elementos del conjunto de partida se le asigna solamente un elemento del conjunto de llegada.

El conjunto A recibe el nombre de conjunto de partida o dominio y el conjunto B recibe el nombre de conjunto de llegada o codominio. Se denota:

Dom (f) = { 1, 4, 5, 7 }     Rgo (f) = {2, 8, 10, 14 }

RELACIONES ANALÍTICAS ENTRE RECTAS

Rectas Paralelas: Dos rectas son paralelas entre sí cuando tienen la misma pendiente.

R2       m1= m2

x

Rectas Perpendiculares: Dos rectas son perpendiculares entre sí cuando el producto de sus pendientes es igual a -1            m1 • m2 = -1

y

3.- Angulo entre dos Rectas: Está dado por la siguiente ecuación:

M2 M1        —

Tget -   a = Arctg •   

1 + m2 mi            1 + m2 mi

R2

FORMAS  Y RELACIONES

PENDIENTE DE LA RECTA

Es la tangente trigonométrica del ángulo que forma di           r

Horizontal del sistema. Se denota con la letra m minúscula.

m = tg a

y

x

X2^-X1

La tangente de un ángulo es igual al cateto opuesto sobre cateto adyacente: Cateto opuesto               Cateto opuesto

Tga         m -               ------

Cateto adyacente           Cateto adyacente

Y2 - y, m=    

X2 - X1

Ejemplos:

FORMAS DE: LA ECUACIÓN DE LA RECTA

1.- Cuando la recta pasa por e origen de coordenadas, es decir, el punto (0,0) y su pendiente (m) es conocida entonces la forma de la ecuación es

2.- Cuando la recta corta o intersecta al eje "y" a una distancia "b" del origen y su pendiente "m" es conocida, entonces la forma de la ecuación es y = mx + b

Cuando se conoce la endiente también se conoce un'unto al u era de la

Cuando la recta pasa por dos puntos conocidos P2 (X2Y2)

Entonces la ecuación es

Y2 - Yi

y =    (x – x1) = + y₁

         X2 - X1