Una recta auxiliar horizontal en diédrico

Teorema de Thales

Si dos rectas secantes se cortan por dos rectas paralelas entonces los segmentos que determinan las paralelas en una de las secantes son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra secante.

Esto es:

Si AB y A'B'  son paralelas entonces    

Recíprocamente, si  entonces AB es paralelo a A'B'.

Y además:    

Demostración:

Como ya se dijo, la primera parte de este teorema ya está demostrada en una unidad didáctica anterior. Así que partimos de que se cumple la proporción  y también el recíproco.

Sólo tenemos que probar que .

Partiremos de la construcción geométrica que ilustra el enunciado de teorema y trazaremos la recta auxiliar, BD, que pasa por B y es paralela a la recta OA'.

Ahora, aplicamos el Teorema de Thales tomando como rectas secantes OB' y A'B' y como rectas paralelas, OA' y BD.

Así:     

Aplicando una propiedad de las proporciones:

Teniendo en cuenta que AA'BD es un paralelogramo y que, por tanto, sus lados opuestos son iguales: 

Y así podemos escribir la siguiente proporción:    

E intercambiando los dos términos centrales:      que es lo que queríamos demostrar.

Trazando una paralela a OB' que pase por A, se demuestra del mismo modo que