Raíces racionales de un polinomio

Teorema Fundamental del Álgebra:

Toda ecuación polinomial de grado “n”,  tiene a lo sumo “n” raíces en el campo de los números complejos y puede escribirse de la siguiente manera:

Donde  son las raíces simples de la ecuación polínómica.

Regla de Descartes:

       Un polinomio tendrá la cantidad de raíces reales (o menor en un múltiplo de 2), igual a la cantidad de cambios de signos del polinomio escrito en forma decreciente y ordenado. La cantidad de raíces negativas será igual a la cantidad de cambio de signos (o menor en un múltiplo de 2) de la ecuación .

Método de Laguerre:

    Sirve para encontrar el intervalo en el cual se encuentran todas las raíces de la función. Se aplica Ruffini al polinomio ordenado, decreciente y completo. Cuando los factores sean positivos y distintos de cero habremos encontrando el límite. Si el resto se hace cero quiere decir que se encuentra una raíz, y si hay un cambio de signo de los restos también hay una raíz y habremos encontrado un subintervalo. Se debe tener en cuenta que el coeficiente principal siempre debe ser positivo, en caso de no serlo se multiplica miembro a miembro por .

Newton Cotes:

                El método consiste en dividir el intervalo cerrado  en “n” intervalos de igual amplitud, donde la amplitud viene dada por . Los valores extremos se calculan como

Donde  siendo

Luego se aproxima la función con un polinomio de grado “n” dado  que es el polinomio de colocación de Lagrange y luego se itera para obtener la aproximación de la integral.

Método de los Trapecios:

           La aproximación polinomial a  es por medio de un polinomio de primer grado (recta) y la aproximación a la integral es el área del trapecio formado por el polinomio de primer grado entre  y .

Regla de Simpson:

         Se aproxima  con una parábola que es la representación gráfica de un polinomio de segundo grado de colocación de Lagrange y se aproxima el área bajo la curva de la función por la integral del polinomio de segundo grado entre  y .

Euler modificado:

Se utiliza el valor promedio se deriva en los dos extremos del intervalo, en lugar de tomar la derivada en un solo extremo como lo hacía el métodos de Euler. Consta de 2 pasos:

1. Se parte de , utilizamos el método de Euler. Se calcula el valor de  correspondiente a . Este proceso se conoce como peso productor
2. El segundo paso se llama corrector, se trata de conseguir la predicción, en el nuevo punto  se evalúa la derivada  usando la ecuación diferencial ordinaria del problema del valor inicial que se está resolviendo a la derivada del punto inicial . Finalmente usamos esa derivada promedio, se puede calcular un nuevo valor de  que es más exacto que el  anterior.