Proposiciones Lógicas, Conjuntos y Aplicaciones: Ejercicios Resueltos

Enviado por Programa Chuletas y clasificado en Matemáticas

Escrito el 11 de Diciembre de 2024 en español con un tamaño de 11,97 KB

Proposiciones Lógicas

Ejemplos de Proposiciones Lógicas Simples y Compuestas

Soy minero: Es una proposición lógica simple.
La luna en el mar riela: No es una proposición lógica.
El pueblo unido jamás será vencido: No es una proposición lógica.
No debía quererte y sin embargo te quiero: Es una proposición lógica compuesta.
El tiempo lo cura todo: No es una proposición lógica.
Lo que el viento se llevó: No es una proposición lógica.

Ejemplos de Proposiciones Lógicas con Conectores

Ni te tengo ni te olvido: (¬p)∧(¬q)
No firmo el documento sin haberlo leído: ¬(p∧¬q)
Si te he visto no me acuerdo: p→¬q
Si prometes y no das mal vas: (p∧¬q)→r
Cuando marzo mayea, mayo marcea: p→q
Si sale cara gano yo, si sale cruz pierdes tú: (p→r)∧(q→s)
Siempre que llueve escampa: p→q
Quien siembra, recoge tempestad: p→q
El que no arriesga no cruza la mar: ¬p→¬q

Ejercicios de Evaluación de Proposiciones Lógicas

Si ¬q es falsa, (¬p)∨q es: Verdadera
Si p es falsa, entonces (¬p)∧q es: Verdadera o falsa según el valor de q.
Si ¬q es verdadera, entonces ¬(p∨¬q) es: Falsa
Si p es verdadera, entonces (q∨¬p)∧(p∨¬q) es: Verdadera o falsa según el valor de q.
La proposición ¬(p∨¬p) es: Falsa
p∨¬q es falsa cuando: p es falsa y q es verdadera.
Si p es verdadera, la proposición (¬p)→q es: Verdadera
Si p es verdadera, la proposición p→(p∨q) es: Verdadera
Si p es falsa, la proposición (p∨q)→(p∧q) es: Verdadera o falsa según el valor de q.
Si p es verdadera, la proposición (p∨q)→¬p es: Falsa
La proposición p→¬p es: Verdadera si p es falsa.
La proposición (q∧¬q)→(p∧q) es: Verdadera siempre.
Si p→(q∨¬p) es una proposición falsa, es porque: p es verdadera y q es falsa.
Si p∧(q→p) es una proposición verdadera, entonces: p es verdadera.
La proposición p→(q→p) es una proposición verdadera: Cualquiera que sean p y q.

Lógica y Argumentos

Si los triángulos S y T tienen sus ángulos iguales, son iguales: Sería una falacia, aunque la primera premisa fuese cierta.
Si París no está en Francia, está en España: Es lógicamente válido.
Los domingos voy al campo o de compras: Es una falacia.
Un amigo marciano; en Marte nunca llueve: Es una falacia.
Si voy al cine, entonces no voy al teatro: Es una falacia.
Marx, Engels: Es válido, del modus ponens.

Teoría de Conjuntos

Ejercicios de Pertenencia y Contención

Si A es el conjunto de las vocales, se cumple: u∈A
Si A es el conjunto de los siete enanitos, entonces: "Naranja" no pertenece al conjunto.
Si A es el conjunto de los animales vertebrados, entonces: "Cangrejo" pertenece al conjunto.
El conjunto A = {domingos de 2010} está definido: Por descripción.
Si A y B son conjuntos tales que si x∈A, entonces x∈B, entonces: A⊂B
Si M y N son conjuntos tales que si a∉M, entonces a∉N, entonces: N⊂M
Si F y D son los conjuntos de días festivos y días de diario respectivamente, entonces: D⊂F^c
Para cualquier conjunto A, se cumple: ∅⊂A
Si A = {1, 2, 3} y B = {3, 2, 1}, entonces: A = B
Si A = {1, 2, 3} y P(A) es el conjunto de las partes de A, entonces: {1, 2}∈P(A)
Si A es el conjunto de las vocales y P(A) es el conjunto de las partes de A, entonces: {{a, e}, {a, i}}⊂P(A)
Si un conjunto A tiene 6 elementos, entonces el conjunto de las partes de A, P(A), tiene: 64 elementos.
Si A es el conjunto de los números pares y B es el conjunto de los números múltiplos de 10, entonces: B⊂A
Si A es el conjunto de comunidades autónomas españolas, entonces: {Galicia, Cantabria}⊂A

Ejercicios de Operaciones con Conjuntos

Si A y B son conjuntos disjuntos, no es correcto afirmar: Si a∉A, entonces a∈B
Dados dos conjuntos A y B, si x∈A∪B, entonces: x∈A o x∈B
Si dos conjuntos A y B verifican A∪B = U, entonces: A^c⊂B y B^c⊂A
Si dos conjuntos A y B cumplen A⊂B, entonces: B^c⊂A^c
Si dos conjuntos A y B cumplen A⊂B^c, no es correcto afirmar: A∪B = U
Si A y B son dos conjuntos tales que A∪B^c = U, entonces: B⊂A
Si A y B son dos conjuntos, (A - B)^c es igual a: A^c∪B
Si A y B son dos conjuntos tales que A∪B^c = B, entonces: A = B = U
Si A y B son dos conjuntos tales que (A - B)^c = B, entonces: B^c⊂A
Si A y B son dos conjuntos tales que (A∪B)^c = A, entonces: A = ∅ y B = U
Si A y B son dos conjuntos tales que (A∩B)^c⊂B, entonces: B = U
Si A y B son dos conjuntos, el conjunto (A^c - B^c)^c es igual a: A∪B^c
Si A y B son dos conjuntos, el conjunto A∩(B∪A^c) es igual a: A∩B
Si A y B son dos conjuntos, el conjunto (A^c∪B^c)∩A es igual a: A - B
Si A y B son dos conjuntos, el conjunto A∪(B^c∩A) es igual a: A
Si A y B son dos conjuntos que cumplen B - A = B, entonces: A - B = A

Propiedades de las Operaciones con Conjuntos

La propiedad de idempotencia de la intersección de conjuntos establece que: A∩A = A
La propiedad asociativa de la intersección de conjuntos establece que: A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
La propiedad distributiva de la unión respecto a la intersección de conjuntos establece que: A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
La propiedad conmutativa de la unión de conjuntos establece que: A∪B = B∪A
Entre tres conjuntos A, B y C, si B⊂C, entonces: A∩B⊂A∩C
Las leyes de Morgan establecen que: (A∩B)^c = A^c∪B^c y (A∪B)^c = A^c∩B^c
Si dos conjuntos A y B verifican (A∩B)^c = A^c∪B^c, entonces: Se cumple siempre por las leyes de Morgan.
Si dos conjuntos A y B verifican (A∪B) - (A∩B) = (A - B)∪(B - A), entonces: Se cumple siempre.
Si dos conjuntos A y B verifican A - B = B - A, entonces: A = B
Si dos conjuntos A y B cumplen que A - B = ∅, entonces: A⊂B

Aplicaciones

Ejercicios de Aplicaciones entre Conjuntos

En el conjunto de palabras del diccionario, la aplicación f que asigna a cada palabra el número de letras que tiene, por ejemplo, f(cinco) = 5, entonces: Es una aplicación.
Para ordenar en orden alfabético las palabras del diccionario, se considera la aplicación que asigna a cada palabra la posición que ocupa en el diccionario, por ejemplo, la imagen de "cuatro" es 2 y la preimagen de 1 es "cinco", entonces: Es una aplicación.
Se considera la abreviatura de cada palabra del diccionario, por ejemplo, "ar" tiene como preimagen "arma", entonces: Es una aplicación.
La abreviatura de las palabras del diccionario definida por sus dos primeras letras, por ejemplo, "arma" se abrevia como "ar", es una aplicación: No, porque las palabras de una sola letra no tienen abreviatura.
La abreviatura de las palabras del diccionario de más de dos letras definida por sus dos primeras letras, por ejemplo, "arma" se abrevia como "ar", es una aplicación: No, porque hay palabras distintas con la misma abreviatura.
Asignar a cada número del conjunto N = {0, 1, 2, 3, ...} el número de cifras que tiene, por ejemplo, f(10) = 2, entonces: Es una aplicación.
La aplicación s: N→N que asigna a cada elemento n∈N la suma de sus cifras, por ejemplo, la imagen de 11 es 2 y una preimagen de 7 es 52, entonces: Es una aplicación.
La aplicación s: N→N que asigna a cada elemento n∈N la suma de sus cifras, por ejemplo, s(12) = 3, es inyectiva: No, porque s(12) = s(21) = 3.
La aplicación s: N→N que asigna a cada elemento n∈N la suma de sus cifras, entonces: s(2, 10, 11, 100, 101) = {2, 1, 2, 1, 2}
La aplicación s: N→N que asigna a cada elemento n∈N la suma de sus cifras, entonces: s^-1({1}) = {1, 10, 100, 1000, ...} = {10^k | k∈N}
La aplicación s: N→N que asigna a cada elemento n∈N la suma de sus cifras: Es sobreyectiva.
La aplicación s: N→N que asigna a cada elemento n∈N la suma de sus cifras: No es biyectiva, porque no es inyectiva.
Asignar a cada número del conjunto N = {0, 1, 2, 3, ...} el número que resulta de sumarle 5, por ejemplo, f(2) = 7, entonces: Es una aplicación.
La aplicación f: N→N que asigna a cada elemento n∈N el resultado de sumarle 5, por ejemplo, la preimagen de 7 es 2 y la imagen de 5 es 10, entonces: Es una aplicación.
La aplicación f: N→N que asigna a cada elemento n∈N el resultado de sumarle 5: Es inyectiva, porque no coinciden las imágenes de elementos distintos.
La aplicación f: N→N que asigna a cada elemento n∈N el resultado de sumarle 5: No es sobreyectiva, porque hay números en N que no son imagen de ningún elemento, por ejemplo, {0, 1, 2, 3, 4}.
La aplicación f: N→N que asigna a cada elemento n∈N el resultado de sumarle 5, entonces: f(2, 4, 10) = {7, 9, 15}
La aplicación f: N→N que asigna a cada elemento n∈N el resultado de sumarle 5, entonces: f^-1(10, 15, 22) = {5, 10, 17}
La aplicación f: N→N que asigna a cada elemento n∈N el resultado de sumarle 5: No es biyectiva, porque no es sobreyectiva.
Si f es la aplicación f: N→N que asigna a cada número natural la suma de sus cifras y s es la aplicación s: N→N que asigna a cada número natural la suma de sus cifras, se cumple: s(f(15)) = s(6) = 6
Si f es la aplicación f: N→N que asigna a cada número natural n∈N el resultado de sumarle 5 y g = f o f es la composición de f consigo misma, se cumple: g(3) = f(f(3)) = f(8) = 13

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