Propiedades, Componentes y Fórmulas Clave en Estadística Descriptiva

Propiedades de los Índices

Los índices son medidas estadísticas que permiten estudiar las fluctuaciones de una magnitud (o de un conjunto de ellas) a lo largo del tiempo o del espacio. A continuación, se detallan sus propiedades fundamentales:

• Identidad: Si coinciden los períodos base y actual, el valor del índice debe ser la unidad. Matemáticamente: I_0,0 = I_tt = 1.
• Inversión: Si se permutan los períodos actual y base de un índice, el resultado debe ser el inverso del valor inicial. Es decir: I_o,t = 1 / I_t,o.
• Circularidad (o Transitividad): Dado un período de tiempo t' menor que t, el índice entre los períodos 0 y t debe coincidir con el producto de los índices calculados a través del período intermedio. Expresión formal: I_t,o = I_t,t' * I_t',o.
• Proporcionalidad: Si en el período actual todos los componentes del índice varían en una proporción, el índice debe experimentar la misma variación proporcional. Si X'_t = kX_t, entonces I'_t,o = kI_t,o.
• Independencia de la escala de medida: Si la magnitud x experimenta un cambio de unidades de medida que no depende del período temporal considerado, entonces el índice calculado con la nueva escala coincide con el inicial. Esta propiedad *no* se aplica a cambios de divisa variables.

Los índices simples cumplen todas estas propiedades. Sin embargo, el índice de Laspeyres solo verifica las propiedades de identidad y proporcionalidad.

Componentes de una Serie Temporal

Una serie temporal es una secuencia de observaciones de una variable tomadas a lo largo del tiempo. Se descompone en los siguientes componentes:

• Componente cíclico (C_t o C_ij): Oscilaciones en torno a la tendencia que se producen en un plazo medio (generalmente, de 3 a 8 años o más).
• Componente extraestacional (E_t o E_ij): Movimientos a medio y largo plazo que combinan los efectos de la tendencia y de las variaciones cíclicas.
• Componente estacional (e_t o e_ij): Variaciones de carácter periódico en torno a la tendencia que se producen en el corto plazo (normalmente, dentro de un año).
• Componente residual o accidental (u_t o u_ij): Variaciones irregulares, no controladas ni modelizables, que se producen a lo largo del tiempo de manera no predecible.

Fórmulas Estadísticas Clave

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

• Suma de las desviaciones respecto a la media: La suma de las desviaciones de una variable respecto a su media es siempre 0.
  E(x_i - media_x) * n_i = Σx_in_i - media_xΣn_i = n * (Σx_in_i / n) - media_x * n = n * media_x - media_x * n = 0
• Cambio proporcional en la media: Si a cada valor de una variable se le suma una constante, la media aumenta en esa misma constante.
  x' = Σx_i'f_i = Σ(x_i + c)f_i = Σ(x_if_i + cf_i) = media_x + cΣf_i = media_x + c
• Relación entre fórmulas de la varianza:
  Σ(x_i - media_x)² * f_i = Σ(x_i² + media_x² - 2x_imedia_x)f_i = Σx_i²f_i + media_x²Σf_i - 2media_xΣx_if_i = Σx_i²f_i - media_x²
• Varianza con incremento constante: Si todos los valores de una variable se incrementan en una constante, la varianza no varía.
  S²_x+c = Σ((x_i + c) - (media_x + c))²f_i = Σ(x_i - media_x)²f_i = s²_x
• Media marginal y medias condicionadas La media marginal de x puede ser obtenida como media de las medias de x condicionadas a los distintos valores de Y:
  Σ(media_x|yj)f_j = Σ(Σx_if_i|j) * f_j = Σ(Σx_i * n_ij/n_j) * n_j/n = Σx_iΣn_ij/n = Σx_if_i = media_x

Covarianza y Correlación

• Variables independientes y covarianza: Si dos variables son independientes, su covarianza es nula.
  s_xy = ΣΣ(x_i - media_x)(y_j - media_y)f_ij = ΣΣ(x_i - media_x)(y_j - media_y)f_if_j = Σ(x_i - media_x)f_i * Σ(y_j - media_y)f_j = 0
• Covarianza y producto de variables: La covarianza es igual a la diferencia entre la media del producto de las variables y el producto de las medias.
  s_xy = ΣΣ(x_i - media_x)(y_j - media_y)f_ij = ΣΣx_iy_jf_ij - media_xΣΣy_jf_ij - media_yΣΣx_if_ij + media_xmedia_yΣΣf_ij = ΣΣx_iy_jf_ij - media_xΣy_jf_j - media_yΣx_if_i + media_xmedia_y = ΣΣx_iy_jf_ij - media_xmedia_y
• Covarianza e invarianza ante cambios de origen: La covarianza es invariante ante cambios de origen.
  s_x'y' = s_{x+a, y+b} = ΣΣ(x_i + a - (media_x + a))(y_j + b - (media_y + b))f_ij = ΣΣ(x_i - media_x)(y_j - media_y)f_ij = s_xy
• Covarianza y cambios de escala: La covarianza se ve afectada por cambios de escala.
  s_x'y' = s_{cx, dy} = ΣΣ(cx_i - c * media_x)(dy_j - d * media_y)f_ij = cdΣΣ(x_i - media_x)(y_j - media_y)f_ij = cds_xy
• Covarianza (s_xy): ΣΣ(x_i-media) * (y_j-media_y) * f_ij
• Coeficiente de correlación lineal de Pearson (r_xy): s_xy / (s_xs_y)

Otras Fórmulas y Coeficientes

• Desviación cuadrática media (D_p²): Σ(x_i - P)² * f_i
• Desviación típica (s_x): √(S²_x)
• Coeficiente de variación (v_x): √(D²_p) / P
• Índice de Gini: Σ(p_i - q_i) / Σ(p_i), donde p_i = i/n y q_i = a_i/a_n
• Condición de independencia: n_ij = (n_i * n_j) / N
• Coeficiente chi-cuadrado de Pearson (χ²): ΣΣ(n_ij - n_in_j/N)² / (n_in_j/N)
• Coeficiente de contingencia de Pearson (C): √(χ² / (N + χ²))
• Recta de Regresión y = b₀ + b₁x, donde: b₀ = media_y - b₁ * media_x y b₁= s_xy/s²_x
• Coeficiente de Regresión (r_y/x): r_xy * (s_y/s_x)
• Coeficiente de Determinación (R²): (r_xy)²
• Tasa de Variación (r_t,o): ((x_t - x_o)/x_o) * 100
• Índice Sintético Tipo Media Ponderada (I_t,o): Σ(x_it/x_io) * W_i / ΣW_i
• Índice de Precios de Laspeyres (L_t,o): Σp_it * q_io / Σp_io * q_io
• Índice de Precios de Paasche (P_t,o): Σp_it * q_it / Σp_io * q_it
• Variación Relativa: (I_t'o - I_to)/I_to * 100

Modelos de Series Temporales

• Esquema de composición aditivo: Y_t = T_t + C_t + E_t + U_t = E_t + e_t + U_t
• Esquema de composición multiplicativo: Y_t = T_t * C_t * E_t * U_t = E_t * e_t * U_t