Propiedades Clave de Matrices: Definición Positiva y Forma de Jordan

Teorema 11

Sea A ∈ M_n×n(ℝ) simétrica.

1. A es definida positiva si y solo si todos los valores propios son positivos.

Demostración: (⇒)

Sabemos que, por ser A una matriz real simétrica, tiene n valores propios. Supongamos que α es un valor propio de A y v ≠ 0 es un vector propio de A asociado a α. Por tanto, Av = αv.

Por ser A definida positiva, se tiene que x^TAx = (x|Ax) > 0, para cualquier x ≠ 0 de ℝⁿ. En particular, si tomamos el vector propio v, se obtiene:

0 TAv = (v|Av) = (v|αv) = α(v|v) = α||v||²

Como ||v||² > 0, se deduce que α > 0.

Demostración: (⇐)

Como A es una matriz real simétrica, A es diagonalizable con respecto a una base ortonormal 𝒜 de ℝⁿ formada por vectores propios de A. Así, si ℬ es la base canónica de ℝⁿ, entonces P = Id_𝒜ℬ es una matriz ortogonal tal que P^TAP = diag(α₁, α₂, ..., α_n), siendo (α₁, α₂, ..., α_n) los valores propios de A.

Si consideramos la forma cuadrática X^TAX, donde X = [x]_ℬ y realizamos la transformación ortogonal X = PY, siendo Y = [x]_𝒜 = (y₁, y₂, ..., y_n)^T, entonces la forma cuadrática se reduce a una suma de variables al cuadrado:

X^TAX = (PY)^TA(PY) = Y^TP^TAPY = Y^T diag(α₁, α₂, ..., α_n) Y = α₁y₁² + α₂y₂² + ... + α_ny_n²

Como (α₁, α₂, ..., α_n) son todos positivos, entonces esta forma cuadrática es definida positiva y, por tanto, A es definida positiva.

Forma Canónica de Jordan de una Matriz Cuadrada

Proposición 13

Si A ∈ M_n×n(K), entonces:

(2.a) Si A ∈ M_n×n(ℂ), entonces los factores lineales distintos de m_A(λ) y de d_A(λ) coinciden.

Demostración:

Como A es una matriz compleja, por el Teorema Fundamental del Álgebra, d_A(λ) tiene n ceros complejos, es decir, que A tiene n valores propios. Supongamos que (α₁, α₂, ..., α_k) son los valores propios distintos de A y que n₁, n₂, ..., n_k son las multiplicidades algebraicas de cada uno de ellos. Así, el polinomio característico de A es:

d_A(λ) = (-1)ⁿ(λ - α₁)^n₁ (λ - α₂)^n₂ ... (λ - α_k)^n_k

Como el polinomio mínimo de A debe ser un polinomio mónico y debe ser divisor del polinomio característico, entonces se tiene que:

m_A(λ) = (λ - α₁)^β₁ (λ - α₂)^β₂ ... (λ - α_k)^β_k

con 0 i ≤ n_i, para i = 1, 2, ..., k. Comprobemos que todos estos exponentes β_i son no nulos, lo que demuestra que todos los factores lineales distintos del polinomio característico y del polinomio mínimo coinciden.

Si suponemos que β_j = 0, como el factor (λ - α_j) ya no forma parte de la factorización de m_A(λ), entonces m_A(α_j) ≠ 0. Pero, aplicando el Teorema de Frobenius, como α_j es un valor propio de A, se tiene que m_A(α_j) es un valor propio de la matriz m_A(A), que es la matriz nula por ser el polinomio mínimo un polinomio anulador de A. Los valores propios de la matriz nula son nulos, lo que nos lleva a una contradicción. Por tanto, todos los exponentes β_i ≠ 0, para i = 1, 2, ..., k.