Problemes de Matemàtiques: Percentatges i Interessos

Problemes de Percentatges i Interessos

Problema 1: Variacions Percentuals

I) Una quantitat C augmenta un 10% i, després, disminueix un 5%.

• Augment del 10%: C → C ⋅ 1.10
• Disminució del 5%: C ⋅ 1.10 → C ⋅ 1.10 ⋅ 0.95 = C ⋅ 1.045

II) Una quantitat C disminueix un 5% i, després, augmenta un 10%.

• Disminució del 5%: C → C ⋅ 0.95
• Augment del 10%: C ⋅ 0.95 → C ⋅ 0.95 ⋅ 1.10 = C ⋅ 1.045

Problema 2: Augment i Disminució Consecutius

Si una quantitat C augmenta un 10% i, després, disminueix un 10%, el que resulta, és més gran, igual o més petit que C?

• Augment del 10%: C → C ⋅ 1.10
• Disminució del 10%: C ⋅ 1.10 → C ⋅ 1.10 ⋅ 0.90 = C ⋅ 0.99

Per tant, el resultat és més petit que C.

Problema 3: Variacions en el Preu d'una Raqueta

Una raqueta de tennis valia, al començament de temporada, 40 euros. Al llarg de l’any va experimentar les variacions següents: va pujar un 20%, va baixar un 25%, va pujar un 5% i, finalment, va baixar un 12%.

a) Índex de variació global:

• Pujada del 20%: 40 → 40 ⋅ 1.20 = 48
• Baixada del 25%: 48 → 48 ⋅ 0.75 = 36
• Pujada del 5%: 36 → 36 ⋅ 1.05 = 37.80
• Baixada del 12%: 37.80 → 37.80 ⋅ 0.88 = 33.264

b) Valor al final de temporada: 33.264 euros.

c) Percentatge de pujada per tornar a costar 40 €:

• Percentatge necessari: 40 / 33.264 ≈ 1.202
• Això representa un augment del 20.2%.

Problema 4: Augment i Rebaixa d'un Article

Article de 100 € que augmenta un r% i, a continuació, es rebaixa un r%.

Per r = 10%

• Augment: 100 ⋅ 1.10 = 110
• Rebaixa: 110 ⋅ 0.90 = 99
• Pèrdua: 100 − 99 = 1 euro

Per r = 20%:

• Augment: 100 ⋅ 1.20 = 120
• Rebaixa: 120 ⋅ 0.80 = 96
• Pèrdua: 100 − 96 = 4 euros

Problema 5: Càlcul del Preu Inicial

Calcula quin serà el preu inicial:

a) Després d’augmentar un article un 21%, ara costa 332.75 €:

332.75 / 1.21 ≈ 275 euros.

b) Després de rebaixar un article un 16%, ara costa 18.48 €:

18.48 / 0.84 ≈ 22 euros.

Problema 6: Càlcul del Preu Abans d'una Pujada

Després d’apujar un article un 20%, ara val 45.60 euros. Quant valia abans de la pujada?

Preu inicial: 45.60 / 1.20 = 38 euros.

Problema 7: Càlcul del Preu Abans d'una Rebaixa

Després de rebaixar-lo un 35%, ara val 81.90 euros. Quant valia abans de la rebaixa?

Preu inicial: 81.90 / 0.65 = 126 euros.

Problema 8: Percentatge de Pacients Curats

De 1300 pacients, 500 es curen. Quin percentatge de pacients es curen?

Percentatge de curació: (500 / 1300) × 100 ≈ 38.46%

Si som 40 malalts a la sala, quants ens curarem segons les estadístiques?

Malalts que es curaran: 40 × 0.3846 ≈ 15 persones.

Problema 9: Lectura Diària dels Alumnes

Si un 25% d’alumnes llegeix cada dia, quants llegeixen a la nostra classe de 31 alumnes?

Alumnes que llegeixen: 31 × 0.25 = 7.75 ≈ 8 alumnes.

Problema 10: Llaurar amb Tractors

Si amb 2 tractors llaurem 1500 hectàrees en 8 hores:

a) Quantes hectàrees llauraríem amb 10 tractors?

Hectàrees per tractor en 8 hores: 1500 / 2 = 750 hectàrees.

Amb 10 tractors: 750 × 10 = 7500 hectàrees.

b) Quant trigaríem a llaurar les 1500 hectàrees si tinguéssim 3 tractors?

Hectàrees per hora per tractor: 1500 / (2 × 8) = 93.75

Hores necessàries amb 3 tractors: 1500 / (93.75 × 3) ≈ 5.33 hores.

Problema 11: Graduació a l'Institut

A l’institut s’han graduat 25 persones i havíem començat les classes 31 alumnes.

Índex de variació: (25 / 31) × 100 ≈ 80.65%

Problema 12: Empleats que Van amb Autobús

En una empresa, 8 empleats venen amb autobús cada dia. Si representen el 16% d’empleats, quants empleats té l’empresa?

Total d’empleats: 8 / 0.16 = 50

Interès Simple

Problema 1: Càlcul del Capital Final i Interessos

Dipositem 4500 € en un banc a interès simple, a un tipus d’interès anual del 3.4% durant 2 anys. Calcula el capital final i els interessos generats.

Interès generat: I = 4500 × 0.034 × 2 = 306 euros

Capital final: A = 4500 + 306 = 4806 euros

Problema 2: Càlcul del Tipus d'Interès

El tipus d’interès d’un dipòsit a interès simple és desconegut. Per determinar-lo, tenim en compte que hem dipositat un capital inicial de 5000 € durant 6 anys. Els interessos generats són 690 €. Quant val el tipus d’interès?

690 = 5000 ⋅ r ⋅ 6

r = 690 / 30000 = 0.023

Convertim a percentatge: r = 0.023 × 100 = 2.3%

Problema 3: Càlcul del Temps d'un Dipòsit

Calcula quant de temps ha estat un dipòsit de 20000 € en el banc (a interès simple) si el tipus d’interès era del 3.67% i el capital final és de 25505 €.

Trobar l'interès generat: 25505 = 20000 + I

I = 25505 − 20000 = 5505 euros

t = 5505 / (20000 × 0.0367) = 5505 / 734 ≈ 7.5 anys

Problema 4: Càlcul del Capital Inicial

Determina quin capital vaig dipositar al banc a interès simple si després de 5 anys al 6.2% anual acabo amb uns interessos de 10850 €.

Fórmula de l'interès per trobar el capital inicial: 10850 = C × 0.062 × 5

Resolent per C: C = 10850 / (0.062 × 5) = 10850 / 0.31 = 35000 euros

Interès Compost

Problema 5: Càlcul del Capital Final i Interessos

Calcula el capital final i els interessos d’un dipòsit de 12000 € a interès compost que està 6 anys i mig al banc a un tipus d’interès del 4.8% anual.

Capital final: A = 12000 × (1 + 0.048)^6.5 ≈ 16397.53

Interès generat: I = 16397.53 − 12000 ≈ 4397.53 euros