Problemas de vectores y rectas en el espacio tridimensional
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1. Dados los vectores u:(0,1,1) v(1,0,1) w(2,3,m)
a)¿Para que valores de m los tres vectores son linealmente dependientes?
Se hace el determinante con esos tres vectores y se despeja m, el valor de salga sera linealmente dependiente.
b)¿Para que valores de m los vectores v y w forman un angulo de 45?
Usar el producto escalar: v.w= |v||w|cos45
(acordarse de elevar ambos al cuadrado para quitar raices)
c)¿Para que valores de m los vectores forman un paralelogramo cuya area es 3#3?
Aplicar la formula |u·w|=area
en este caso |u·w|=3#3, hay que sacar el vector i,j,k con el determinante y despejar m (acordarse de elevar al cuadrado pafra quitar raices) y lo que nos de las soluciones sera la respuesta.
2. Dado el punto A(5,2,8) y el plano &:2x-y+3z=4
a)Halla el punto A´simetrico al del plano &.
1.Recta perpendicular al plano que pase por A. Para ello creamos la recta 'r' que se obtendra de los puntos de A y sus vectores seran los del plano (2,-1,3) decir:
x=5+2@
y=2-@
z=8+3@
2. r-interseccion-&
sustituimos x,y,z de la recta en la ecuacion dada del plano &. Nos dara el resultado de la @ que abrá que sustituir en las ecuaciones de la recta 'r'. El resultado de esas tres ecuaciones serán las coordenadas del punto M.
Ahora dividiriamos entre dos:
(1,4,2)= ((5+x)/2 ; (2+y)/2 ; (8+z)/2)), el resultado sera las cordenadas del punto simetrico que da como resultado (-3,6,-4)
b) Hallar el punto A'' que esté a doble distancia del plano & de lo que esta el punto A'
Tenemos el punto A(5,2,8) y el punto M (1,4,2)(que lo hemos sacado de antes)
A'' es simetrico de M con respecto a A'
(-3,6,-4)= ((1+x)/2) ; (4+y)/2 ; (2+z)/2))
se despeja lo de la derecha y lo que nos salga seran las coordenadas del punto A''.
3. Dadas las rectas r: ((x-a)/2 ; (y-1)/-3 ; (z+1)/1)) y la s: ((x+1)/1 ; (y+2)/-2 ; (z-4)/2 ))
a) Hallar su posicion relativa en funcion de los valores del parametro a.
1.Sacamos los vectores de la recta r y s y comprobamos que no coinciden ni son proporcionales, por lo tanto, podemos decir que no son nin coincidentes ni paralelas.
2. Las rectas se cortan o se cruzan. Sacamos un punto de las dos rectas y lo juntamos haciendo vector: Pr: (a,1,-1) Ps: (1, -2,4)
Vector de PrPs: (1-a, -3, 5)
Hacemos el determinante con el vector PrPs, Pr, Ps. Si el resultado de a es =0 se cortan y si da diferente a 0 se cruzan.
b)Para los valores de a para los que las dos rectas se cortan, hallar la ecuacion general del plano que las contiene.
1.Se parte de que a=0
se sustituye a en las ecuaciones de r y s que nos daban al principio y despues sacaremos el vector de r y s, que son vr(2,-3,1) y vs(1,-2,2). 2.Tambien sacaremos un punto de cualquiera de las rectas , en este caso de la recta r, por ejemplo (0,1,-1). Y los agrupamos: los dos vectores y un punto.
3. Se hace un determinante con el numerador de una de las rectas, en este caso la de la recta r y con los vectores ya sacados Vr y Vs, quedaria asi:
x y-1 z+1
2 -3 1 =0
1 -2 2
4. Se realizaria el determinante igualandolo a 0 y lo que nos saliese sería la ecuacion general del plano.
4.Dadas las rectas r: ((x-2)/5 ; (y+3)/2 ; (z/3)) y s: x=-2+@
y=5+@
z=3@
a)Hallar la distancia entre las dos rectas
1. Sacamos los vectores de Vr y Vs y concluimos que nos paralelas ni coincidentes.
2.Sacamos un punto de Pr y Ps y formamos el vector PrPs, con el que luego haremos el determinante con PrPs, Pr, Ps, concluyendo si se cruzan o cortan, dependiendo si da 0 o no.
3.Para despues poder hallar la formula de la distancia primero tendremos que hacer el determinante con i j k y Vr y Vs
4. Con la ecuacion de distancia d(r,s)= [VPrPs, Vr, Vs ] / |Vr · Vs| ]
El modulo de Vr ·Vs lo sacamos haciencendo el modulo que nos ha salido antes haciendo el determinante.
b) Hallar la ecuación de la recta r' que pasa por el punto A(1,1,0) y tiene direccion perpendicular a las dos rectas dadas.
1.El vector resultante que hemos sacado antes de el determinante i j k es un vector perpendicular a r y s.
2. Cogemos el vector Vr' de antes y el punto A (los colocamos con una llave como siempre) y ponemos que da lugar a r'.
3. Se halla la ecuacion con fracciones, abajo los vectores y arriba los puntos.