Probabilitat i Estadística: Conceptes Clau i Fórmules Essencials

Probabilitat: branca de les matemàtiques que estudia els processos aleatoris.

Succés: cadascun dels possibles resultats d’un experiment aleatori.

Espai mostral: el conjunt de tots els possibles successos elementals d’un experiment.

Succés impossible: el que mai ocorre.

Probabilitat d’un succés: indica el grau de confiança que tenim que podem tenir en què el succés ocórrega. Es denota P(S) i s’expressa mitjançant un número entre 0 i 1.

Llei dels grans nombres: en realitzar reiteradament un experiment aleatori, la freqüència relativa d’un determinat succés, hA, es va aproximant eventualment a la probabilitat del mateix, P(A).

Llei de Laplace: La probabilitat que, en un experiment aleatori on tots els successos tenen la mateixa probabilitat d’ocórrer, ocórrega el succés A, es calcula com: P(A) = nombres de casos favorables a A / nombres de casos totals.

Els experiments que consisteixen a EXTRAURE OBJECTES d’un contenidor poden ser:

• Amb reemplaçament: si quan anem a fer la segona extracció tornem a introduir la primera en el contenidor, de manera que el nombre total d’elements no canvia.
• Sense reemplaçament: si quan anem a fer la segona extracció no tornem a introduir la primera en el contenidor, de manera que el nombre total d’elements disminueix en una unitat per cada extracció.

Els experiments ALEATORIS poden ser:

• Independents: quan el resultat de cadascun d’ells no influeix sobre el següent. Per exemple: llançar un dau.
• Dependents: quan el resultat de cadascun d’ells influeix sobre el següent. Per exemple: treure una carta.

S’anomena experiment compost a un experiment que està format per la realització successiva de diferents experiments simples. Per exemple: llançar un dau tres vegades. S’anomena probabilitat condicionada de B condicionat a A a la probabilitat que ocórrega B tenint en compte que ha ocorregut A. S’escriu P(B|A).

Moltes vegades, per a resoldre problemes d’experiments compostos dependents utilitzem diagrames en arbre.

Estadística: branca de les matemàtiques que es dedica a l’arreplegada, representació, resum i anàlisi de les dades disponibles.

Estadística descriptiva: consisteix en la representació, resum i interpretació de les dades arreplegades per a extreure’n conclusions sobre la MOSTRA.

Estadística inferencial: consisteix en, a partir de les característiques de la mostra, estimar les característiques de tota la POBLACIÓ.

Procés d'estudi:

1. Recollida (dades)
2. Representació
3. Resum
4. Interpretació

Recollida: Es diu població al conjunt de tots els elements que s'estudien. Cadascun dels seus components s'anomena individu. S'anomena mostra a un subconjunt de la població elegit per fer l'estudi estadístic. En l’estadística descriptiva, la mostra coincideix amb la població. S’anomena observació a cadascuna de les dades de cadascun dels individus de la mostra.

Variables qualitatives: són les que no es poden mesurar utilitzant nombres, sinó que representen qualitats (color d’ulls, ciutat de naixement).

Variables quantitatives: són les que es poden mesurar utilitzant nombres.

• Discretes: es mesuren utilitzant nombres naturals (nombre de fills).
• Contínues: es mesuren utilitzant nombres reals (altura, pes).

fi: és el nombre de vegades que es repeteix.

Fi: és la suma de totes fi.

hi: fi/n

Hi: suma hi

pi: hi multiplicats per 100

Pi: Hi multiplicats per 100

Nombre intervals: 𝑘 = [1 + log2 𝑛] amplitud intervals: a=[rang/k] (rang= major - menor)

Mesures de posició:

• Mitjana: totes les observacions/nombre total.
• Moda: és el valor que més vegades es repeteix.
• Quantils: són els valors que deixen darrere seu un percentatge concret de les dades. (q1=25% q2=50% q3=75%)
• Mediana: és el quartil 2.

Mesures de dispersió:

• Rang
• Variància
• Desviació típica: és l’arrel quadrada de la variància.
• Coeficient de variació: és el quocient entre la desviació típica i la mitjana.

Interpretació:

• Mitjana no és representativa: els sous d’un país no seran representatius si poques persones concentren la riquesa.
• Escala i tamany dels gràfics: modificar-los pot donar lloc a diferents interpretacions.
• Línies de temps: si no s’utilitza un increment uniforme dels salts de temps a l’eix X les gràfiques seran confuses.
• Interpretació dels percentatges: si un valor varia d’un 5 % a un 10 % no ha pujat un 5 %, sinó un 100 %.

Naturals (N): 0, 1, 2, 3, 4...

Enters (Z): naturals i negatius ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...

Racional (Q): enters i decimals exactes i periòdics 1, -1, -5/2, 0'1566..., 0'2

Irracional (R-Q): Decimals infinits NO periòdics: 2'98432468...

Reals (R): tots

Commutativa: a + b = b + a

Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c

Distributiva: a x (b + c) = a x b + a x c

14, 28, 35 són MÚLTIPLES de 7. 7 és DIVISOR de 14, 28, 35. 14, 28, 35 són DIVISIBLES entre 7.

MCM: tots, elevats al major exponent.

MCD: comuns, elevats al menor exponent.

Fraccions Pròpies: numerador < denominador (ex: 4/5). Fraccions Impròpies: numerador > denominador (ex: 8/4)

26% = 26/100 = 0'26. -4'57% = -4'57/100 = -0'0457. 26% de 76 = 26 x 76 / 100 = 19'76

Proporció: és una igualtat entre dues raons de dues magnituds diferents.

Directament proporcional: 3 parets - 9L, 4 parets - 12L

Inversament proporcional: 4 pintors - 2 hores, 8 pintors - 1 hora

• Un nombre és divisible entre 2 si és parell.
• Un nombre és divisible entre 3 si la suma de les xifres ho és.
• Un nombre és divisible entre 4 si les dues últimes xifres ho són.
• Un nombre és divisible entre 5 si acaba a 0 o en 5.
• Un nombre és divisible entre 6 si ho és entre 2 i entre 3.
• Un nombre és divisible entre 7 si la resta del nombre sense les unitats menys el doble de les unitats ho és.
• Un nombre és divisible entre 9 si la suma de les xifres ho és.
• Un nombre és divisible entre 10 si acaba a 0.
• Un nombre és divisible entre 11 si ho és la resta de la suma de les xifres que ocupen un lloc parell menys la de les que ocupen un lloc imparell.
• Un nombre és divisible entre 13 si la resta del nombre sense les unitats menys nou vegades el de les unitats ho és.
• Un nombre és divisible entre 100 si acaba a 00.
• Cap nombre no és divisible entre 0. El 0 és divisible entre tots els nombres excepte ell.