Probabilidad, Estadística y Variables: Conceptos y Ejercicios Resueltos

Probabilidad

Sucesos Independientes

Dos sucesos A y B son independientes si: P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B).

Fórmulas de Probabilidad

• P(¬A ∩ B) = P(¬A) * P(¬A) = (1 - P(A))
• P(¬A ∩ B) = P(¬A ∩ no B) / P(¬B) = P(todo no A ∪ B) / P(¬B)
• Todo no A ∪ B = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1 - P(A ∪ B)
• Si la negación de A o B está en la primera: P(¬A/B) = 1 - P(B/A)
• P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∪ B) - P(A ∪ C) - P(B ∪ C) + P(A ∪ B ∪ C)

Teorema de Bayes

P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B); P(A ∩ B) = P(A/B) * P(B)

P(B/A) = P(B ∩ A) / P(A); P(B ∩ A) = P(B/A) * P(A)

Fórmula de las Probabilidades Totales

P(A) = P(A/B) * P(B) + P(A/no B) * P(no B)

Otras Fórmulas Útiles

• ¬A ∪ ¬B = P(todo no A ∩ B)
• P(A ∩ ¬B) = P(A) - P(A ∩ B)
• P(B ∩ ¬A) = P(B) - P(B ∩ A)
• P(A ∪ ¬B) = P(A) + P(¬B) - P(A ∩ no B)

Estadística Descriptiva - Variables Bidimensionales

Ejemplo de Datos

X: 0, 1, 2, 3, 4, 5

Y: 20, 26, 29, 45, 47, 50

Cálculos

• Media de X (μ_x): (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 6
• Varianza de X (σ_x²): (0² + 1² + 2² + 3² + 4² + 5²) / 6 - μ_x²
• Desviación Típica de X (σ_x): √(Varianza de X)
• Media de Y (μ_y): (20 + 26 + 29 + 45 + 47 + 50) / 6
• Varianza de Y (σ_y²): (20² + 26² + 29² + 45² + 47² + 50²) / 6 - μ_y²
• Desviación Típica de Y (σ_y): √(Varianza de Y)
• Covarianza (Cov(X, Y)): (0*20 + 1*26 + 2*29 + 3*45 + 4*47 + 5*50) / 6 - (μ_x * μ_y)
• Coeficiente de Correlación (r): Cov(X, Y) / (σ_x * σ_y)

Recta de Regresión

y - μ_y = r * (x - μ_x) * (σ_y / σ_x)

Correlación

• La correlación (r) siempre toma valores entre -1 y 1.
• Se considera que existe relación lineal si r² ≥ 0.49.
• Solo mide la fuerza de la relación lineal entre dos variables.
• Exige que las dos variables sean cuantitativas.

Frecuencias Relativas

• Fr(Y = 5 / X = -3) = F(Y ∩ X) / F(X)
• Son independientes si los extremos al multiplicarlos dan el recuadro que tienen en común.
• Frecuencia relativa = Dato del cuadro / Dato exterior (para cada valor).
• Frecuencia relativa de 2 columnas = (Suma de los 2 datos del cuadro) / (Suma de los 2 datos exteriores) (para cada par de valores).

Combinatoria

Ejemplo

10/15/20/ = 45 (x, y, z) = x + y + z → K = Z / 45

2/3/4/ = 9 (a, b, c) = a + b + c → K = Z / 9

Se analiza cada K por separado: J = 10(x + y + z) / 45 = 10Z / 45 = 2Z / 9

Errores y Unidades

Errores

• Error Absoluto (Ei): |Dato - Media|
• Error Relativo (Er): |Ei / Media|
• Error de Dispersión (Ed): Σ Errores Absolutos / N

Unidades

• 1 litro (l) = 1 dm³
• 1 área = 1 dam²
• 1 hectárea (ha) = 1 hm²
• Ejemplo: 8504 g = 8 kg 5 hg 4 g

Estadística Descriptiva - Variables Unidimensionales

Frecuencia Relativa

Frecuencia relativa (fi) = Frecuencia absoluta / N = ni / N

Fi * N = Ni

Diagrama de Cajas

Se basa en 5 números resumen: Valor máximo, valor mínimo, cuartil 1 (Q1), cuartil 2 (Q2 o mediana, Me), y cuartil 3 (Q3).

Cálculo de Cuartiles

• Q1 = 0.25 * N (Si el resultado es decimal, se toma el valor de la posición siguiente)
• Q2 = Me = 0.5 * N (Si el resultado es entero, se hace la media entre el valor de esa posición y la siguiente)
• Q3 = 0.75 * N (Si el resultado es decimal, se toma el valor de la posición siguiente)

Límites para Valores Atípicos

• Límite Inferior (LI) = Q1 - 1.5 * (Q3 - Q1)
• Límite Superior (LS) = Q3 + 1.5 * (Q3 - Q1)

Cuantiles

Son los porcentajes solicitados multiplicados por N.

Cálculos en Tablas de Frecuencia

• Media (μ): Σ (xi * fi)
• Varianza (σ²): Σ (xi² * fi) - μ²
• Desviación Típica (σ): √Varianza
• Coeficiente de Variación (CV): |σ / μ| (Medida adimensional de la variabilidad relativa)

Distribución Normal

z = (x - μ) / σ

Donde:

• σ = Desviación típica
• μ = Media de la distribución normal

Ejemplo

A) ¿5% de duración ...? Se busca 0.95 en la tabla de la distribución normal. Si encontramos 0.9505, corresponde a 1.65. Entonces: 1.65 = (x - 266) / 16

B) ¿Menos de 240 ...? Z = (240 - 266) / 16 = -1.62. Se busca en la tabla, que da -0.9474 (es simétrico). Entonces: 1 - 0.9474 = 0.0526 = 5.26%

Regla Empírica

• μ - σ y μ + σ = 68%
• μ - 2σ y μ + 2σ = 95%
• μ - 3σ y μ + 3σ = 99.7%
• Todas son simétricas a cada lado.

Ejercicio

24 de 200 alumnos miden menos de 150 cm. Distribución normal con media 164 cm. ¿Cuál es la desviación típica?

12% miden menos de 150 cm (por regla de tres). El complementario es 88%. Se busca 0.88 en la tabla, que da 0.8810, correspondiente a 1.18.

Se usa -1.18 porque es simétrico. -1.18 = (150 - 164) / σ → σ = (150 - 164) / -1.18 = 11.86 cm

Cálculo de Porcentajes en Tabla

Se toma el intervalo donde se supera el porcentaje solicitado.

Ejemplo: Si se pide el 80%, y se tiene acumulado hasta un intervalo 0.72, se resta 0.8 - 0.72 = 0.08. Se divide 0.08 entre la frecuencia relativa (fi) de la fila del intervalo, y el resultado se suma al primer dato del intervalo.