Probabilidad y Estadística: Conceptos y Ejercicios Resueltos

Variables Aleatorias Discretas

Ejemplos de Cálculo de Probabilidades

Cuanto mucho 3 líneas están en uso:

P(X≤3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = 0,10 + 0,15 + 0,20 + 0,25 = 0,70

Menos de 3 líneas están en uso:

P(X

Entre 2 y 5 líneas, inclusive, están en uso:

P(2≤X≤5) = p(2) + p(3) + p(4) + p(5) = 0,20 + 0,25 + 0,20 + 0,06 = 0,71

Por lo menos 4 líneas no están en uso:

P(X≤2) = p(0) + p(1) + p(2) = 0,10 + 0,15 + 0,20 = 0,45

Sería todos para arriba sin el 1:

P(X>1) = p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) + p(7) + p(8) = 4/8 = 1/2

Entre 2 y 5:

P(2

Ejercicios Adicionales

1) Se sacan dos bolas de manera sucesiva de una urna que contiene 4 bolas rojas y 3 negras. Los valores x de la variable aleatoria X, donde X es el número de bolas rojas son: RR=2, RN=1, NR=1, NN=0.

2) Al lanzar una moneda tres veces, la variable X, que representa el número de caras, toma el valor 2 con 3/8 de probabilidad, pues 3 de los 8 puntos muestrales igualmente probables tienen como resultado dos caras y una cruz. Espacio muestral S={CCC,CCX,CXC,CXX,XXC,XCX,XCC,XXX}

3) Se tienen cinco individuos a, b, c, d y e, de los cuales sólo a y b tienen sangre del tipo 0+. Se determinará en orden aleatorio el tipo de sangre con 5 muestras, una de cada individuo, hasta que se identifique un individuo 0+. Sea la variable aleatoria Y= el número de exámenes de sangre para identificar un individuo 0+:

F(1) = P(Y≤1) = p(1) = 0,4

F(2) = P(Y≤2) = p(1) + p(2) = 0,7

F(3) = P(Y≤3) = p(1) + p(2) + p(3) = 0,9

F(4) = P(Y≤4) = p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = 1

Esperanza Matemática y Varianza

Esperanza Matemática E(X)

E(X) = Σ x·P(X)

E(X) = 0·(1/8) + 1·(3/8) + 2·(3/8) + 3·(1/8) = 1,5

Varianza σ²

σ² = Σ (x - μ)² · P(X)

σ² = (0-1,5)² · (1/8) + (1-1,5)² · (3/8) + (2-1,5)² · (3/8) + (3-1,5)² · (1/8) = 0,75

Desviación Estándar σ

σ = √σ² = √0,75 ≈ 0,866

Cálculo de la Varianza con Fórmula Abreviada

σ² = E(X²) - [E(X)]²

E(X²) = Σ x² · P(X) = 0²·(1/8) + 1²·(3/8) + 2²·(3/8) + 3²·(1/8) = 3

σ² = 3 - (1,5)² = 0,75

Ejercicios de Aplicación

1) Un vendedor de una empresa de aparatos médicos tiene 2 citas. En la primera cita tiene un 70% de probabilidades de cerrar una venta, con una comisión de $1000. En la segunda cita tiene un 40% de probabilidades de cerrar el trato, con una comisión de $1500. Suponiendo que los resultados de las citas son independientes, ¿cuál es su comisión esperada?

Posibles comisiones: $0, $1000, $1500 y $2500.

Probabilidades asociadas:

• p($0) = (1-0,7)(1-0,4) = (0,3)(0,6) = 0,18
• p($1000) = (0,7)(1-0,4) = 0,42
• p($1500) = (1-0,7)(0,4) = 0,12
• p($2500) = (0,7)(0,4) = 0,28

Comisión esperada: E(X) = ($0)(0,18) + ($1000)(0,42) + ($1500)(0,12) + ($2500)(0,28) = $1300

2) La variable aleatoria X representa el número de automóviles que se utilizan con propósitos de negocios oficiales en un día de trabajo dado. La distribución de probabilidad para la empresa A es: x = 1, p(x) = 0,3; x = 2, p(x) = 0,4; x = 3, p(x) = 0,3. Para la empresa B es: x = 0, p(x) = 0,2; x = 1, p(x) = 0,1; x = 2, p(x) = 0,3; x = 3, p(x) = 0,3; x = 4, p(x) = 0,1. Demuestre que la varianza de la distribución de probabilidad de la empresa B es mayor que la de A.

Cálculos para la empresa A y B omitidos por brevedad. Se debe calcular E(X), E(X²) y σ² para cada empresa y comparar las varianzas.

Técnicas de Conteo

Conteo de Puntos Muestrales

1) Si un club tiene 22 integrantes y necesita elegir un presidente y un tesorero, ¿de cuántas maneras diferentes se podría elegir a ambos?

Para el puesto de presidente hay 22 posibilidades. Para cada una de esas 22 posibilidades hay 21 posibilidades de elegir al tesorero. Usando la regla de la multiplicación: n₁ × n₂ = 22 × 21 = 462 maneras diferentes.

2) Se tienen dos marcas de circuitos integrados, cuatro marcas de discos duros, tres marcas de memorias y cinco tiendas locales para adquirir un conjunto de accesorios. ¿De cuántas formas diferentes se pueden comprar las partes?

Como n₁ = 2, n₂ = 4, n₃ = 3 y n₄ = 5, hay n₁ × n₂ × n₃ × n₄ = 2 × 4 × 3 × 5 = 120 formas diferentes de comprar las partes.

Permutaciones

1) En un año se otorgará uno de tres premios (investigación, enseñanza y servicio) a algunos de los estudiantes de un grupo de 25 de posgrado del departamento de estadística. Si cada estudiante puede recibir un premio como máximo, ¿cuántas selecciones posibles habría?

Solución: Como los premios son distinguibles, se trata de un problema de permutación. El número total de puntos muestrales es:

₂₅P₃ = 25! / (25-3)! = 25 × 24 × 23 = 13,800

Combinaciones

1) Se tienen 10 juegos recreativos y 5 de deportes. ¿De cuántas maneras podría una madre llevarle a su hijo 3 juegos recreativos y 2 de deportes?

Solución: El número de formas de seleccionar 3 juegos de 10 es:

El número de formas de seleccionar 2 juegos de 5 es:

Combinando ambas selecciones: (120)(10) = 1200 formas.

Distribución de Poisson

1) Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador en un milisegundo es 4. ¿Cuál es la probabilidad de que entren 6 partículas al contador en un milisegundo dado?

Usando la distribución de Poisson con x = 6 y λt = 4, tenemos:

Cálculo omitido por brevedad. Se debe usar la fórmula de Poisson o una tabla de distribución de Poisson.

2) El número promedio de camiones-tanque que llega cada día a cierta ciudad portuaria es 10. Las instalaciones en el puerto pueden alojar a lo sumo 15 camiones-tanque por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado lleguen más de 15 camiones y se tenga que rechazar algunos?

Sea X el número de camiones-tanque que llegan cada día. Entonces, usando la tabla A.2:

Cálculo omitido por brevedad. Se debe usar la tabla de distribución de Poisson acumulada.

Distribución Binomial

Ejemplo 2: La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es de 0.4. Si se sabe que 15 personas contrajeron la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que

• a) sobrevivan al menos 10,
• b) sobrevivan de 3 a 8, y
• c) sobrevivan exactamente 5?

Solución: Sea X el número de personas que sobreviven.

Cálculos omitidos por brevedad. Se debe usar la fórmula de distribución binomial o una tabla de distribución binomial.