Potencias, Raíces y Notación Científica: Conceptos y Operaciones
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Potencias de Exponente Natural
Una potencia de exponente natural es el resultado de multiplicar un número (base) por sí mismo tantas veces como indica el exponente. Por ejemplo:
Base: 2
Exponente: 3 (se escribe como superíndice: 3)
Cálculo: 23 = 2 x 2 x 2 = 8
Operaciones con Potencias de la Misma Base
Cuando las potencias tienen la misma base, se pueden simplificar las operaciones:
1. Producto de Potencias
El producto de potencias de la misma base es igual a otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes.
Ejemplo: 53 x 54 x 5 = 53+4+1 = 58
2. Cociente de Potencias
El cociente de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia entre los exponentes del dividendo y el divisor.
Ejemplo: 78 : 73 = 78-3 = 75
3. Potencia de una Potencia
La potencia de una potencia es igual a otra potencia de la misma base cuyo exponente es el producto de los exponentes.
Ejemplo: (42)3 = 42*3 = 46
Caso especial: Cualquier número con exponente 0 es igual a 1.
Operaciones con Potencias del Mismo Exponente
1. Potencia de un Producto
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de sus factores.
Ejemplo: (2 x 5)6 = 26 x 56 = 106 = 1,000,000
2. Potencia de un Cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del divisor.
Ejemplo: (8 : 4)3 = (83 : 43) = 512 : 64 = 8
Notación Científica
La notación científica se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños de forma abreviada. Un número en notación científica tiene la forma:
a x 10p
donde:
- a es un número real cuyo valor absoluto es mayor o igual que 1 y menor que 10.
- p es un número entero llamado orden de magnitud.
Ejemplos:
- 4.27 x 104 = 42,700
- 0.000427 = 4.27 x 10-4
Operaciones en Notación Científica
Para multiplicar, dividir y calcular potencias de números en notación científica, se operan los números y las potencias de 10 por separado, utilizando las propiedades de las potencias.
Ejemplo (división): (6.5 x 104) : (2.5 x 102) = (6.5 : 2.5) x (104 : 102) = 2.6 x 104-2 = 2.6 x 102
Ejemplo (multiplicación): Se suman los exponentes al final.
Cuadrados Perfectos y Raíces Cuadradas
Raíz Cuadrada Exacta
Un número es la raíz cuadrada exacta de otro si, al elevarlo al cuadrado, se obtiene el número original.
Ejemplo: √9 = 3, porque 32 = 3 x 3 = 9
Cuadrado Perfecto
Un número es un cuadrado perfecto si su raíz cuadrada es exacta.
Raíz Cuadrada Entera
La raíz cuadrada entera de un número es el mayor número entero cuyo cuadrado es menor que el número original. El resto de esa raíz es la diferencia entre el número y el cuadrado de su raíz cuadrada entera.
Aproximación de Raíces Cuadradas
Para calcular la raíz entera de números grandes, se puede estimar entre qué dos cuadrados perfectos se encuentra el número.
Ejemplo: La raíz cuadrada de 222 está entre 14 x 14 (196) y 15 x 15 (225). La raíz cuadrada entera es 14, porque 142 = 196, y el resto es 222 - 196 = 26.
Verificación: Para comprobar si la raíz cuadrada está bien, se suma el cuadrado de la raíz entera más el resto, y se debe obtener el número original. En el ejemplo, 196 + 26 = 222.
Potencias y Raíces de Fracciones. Jerarquía de Operaciones
Potencia y Raíz de una Fracción
Potencia de una Fracción
La potencia de una fracción es la fracción que resulta de elevar el numerador y el denominador a dicha potencia.
Ejemplo: (2/5)3 = 23 / 53 = 8/125
Raíz Cuadrada de una Fracción
La raíz cuadrada de una fracción se obtiene calculando la raíz del numerador y la raíz del denominador.
Ejemplo: √(4/9) = 2/3, ya que (2/3) x (2/3) = 4/9
Jerarquía de las Operaciones
En una operación combinada, se resuelven primero las operaciones dentro de paréntesis y corchetes, y luego el resto, siguiendo esta jerarquía:
- Potencias y raíces.
- Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).
- Sumas y restas.
Importante: La potencia de una suma (o resta) no es igual a la suma (o resta) de las potencias de los sumandos.
Ejemplo (suma): (3 + 4)2 = 72 = 49
Ejemplo (resta): (4 - 3)2 = 12 = 1