Polinomios y ecuaciones: conceptos básicos y resolución

Polinomio:

Es la suma de varios monomios no semejantes. Por tanto podemos decir que es toda expresión de la forma:

P(x)= anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0

Valor numérico de un polinomio:

El valor numérico de un polinomio
P(x) para x=a, es el número que resulta de sustituir la variable “x” por “a” y hacer las operaciones. Se expresa por P(a).

Teorema del resto

“El resto de una división de la forma P(x):(x-a) (siendo a E R) coincide con el valor numérico del polinomio P(x) para x=a”

Es decir R=P(a)

Raíz de un polinomio

Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico del polinomio P(x) para x=a es cero. Es decir P(a)=0

Teorema del factor

“Un número x=a es una raíz de un polinomio P(x) si y sólo si x-a es un factor de P(x)”.

x=a (a E R) es raíz de P(x) ←→ x-a es un factor de P(x)

Factorizar

factorizar un polinomio es expresarlo (descomponerlo) como producto de polinomios irreducibles.

Polinomio irreducible:

Un polinomio es irreducible, si no se puede escribir como producto de dos o más polinomios de menor grado que él.

fracción algebraica:
Una fracción algebraica es un cociente entre dos polinomios P(x) y Q(x), que se expresa como P(x)Q(x), donde Q(x) 0.

Máximo común divisor de polinomios:

el máximo común divisor de dos o más polinomios, es el polinomio que resulta de multiplicar los factores primos comunes de sus descomposiciones factoriales elevados al menor exponente. 

Mínimo común múltiplo de polinomios:

el mínimo común múltiplo de dos o más polinomios es el polinomio que resulta de multiplicar los factores primos comunes y no comunes de sus descomposiciones factoriales, elevados al mayor exponente.

Ecuación:

Es una igualdad entre 2 expresiones algebraicas que se verifica para algún (o algunos) valores de la/las incógnitas.

Solución de una ecuación:

Llamamos solución de una ecuación al valor o valores de la incógnita/as que verifican la igualdad.

Resolver una ecuación:

Resolver una ecuación es hallar el valor de su incógnita o incógnitas, es decir, encontrar su solución.

Ecuaciones de 1er grado:

son de la forma ax=b; donde a, b R

Ecuaciones de 2º grado:

son de la forma ax2+bx+c=0, siendo a,b, c R. A0. Pueden ser completas o incompletas.

Discriminante: En una ecuación de 2º grado ax2+bx+c=0 con a, b, c R y a0. Se llama discriminante a la expresión b2-4ac. Según el discriminante podremos saber el tipo de soluciones de una ecuación de 2º grado sin resolverla.

Ecuaciones bicuadradas:

Son de la forma ax4+bx2+c=0 ; siendo a,b,c a0. Se resuelven haciendo un cambio de variable.

Ecuaciones de grado superior a 2 que no son bicuadradas:

Para resolverlas, tenemos que factorizar y después igualar cada factor a cero.

Ecuaciones racionales:

Son aquellas que tienen la incógnita en el denominador.

Ecuaciones irracionales

Son aquellas que tienen la incógnita dentro de una raíz.

Ecuación lineal con dos incógnitas:

Una ecuación lineal con 2 incógnitas x, y, es aquella que se puede reducir a otra de la forma ax+by=c . Su representación gráfica es una recta. Tiene infinitas soluciones, que son los infinitos puntos de dicha recta.

Sistema de ecuaciones:

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones que deben verificarse simultáneamente.

Soluciones del sistema:

Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a todas las ecuaciones que lo componen.

Sistemas no lineales:

Son aquellos que tienen, al menos, una ecuación de grado mayor que 1. Se resuelven, mayoritariamente, por sustitución.

Desigualdades numéricas

Para comparar el valor de dos números reales cualquiera a y b se utilizan los símbolos de desigualdad.

Propiedades de las desigualdades:

Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.

Al sumar o restar un mismo número a los dos miembros de una desigualdad, se obtiene otra de igual sentido.

Al multiplicar o dividir los 2 miembros de una desigualdad por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra que será de igual sentido si el número es positivo, o de sentido contrario si el número es negativo.

Inecuación:

Es una desigualdad entre 2 expresiones algebraicas, llamadas miembros de la inecuación, que está condicionada por los valores numéricos que se asignen a sus incógnitas. Las soluciones de una inecuación son los valores numéricos de las incógnitas que hacen cierta la desigualdad.

Inecuaciones de 1er grado

Son aquellas que se pueden expresar en otra equivalente a: 

Ax+b>0; ax+b