Poliedros, Prismas, Pirámides y Cuerpos de Revolución: Fórmulas y Conceptos
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Poliedros Regulares
Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares idénticos, y en cada vértice confluye el mismo número de caras.
Solo existen 5 tipos de poliedros regulares:
- Tetraedro: Tiene 4 caras, que son triángulos equiláteros.
- Cubo (Hexaedro): Tiene 6 caras, que son cuadrados.
- Octaedro: Tiene 8 caras, que son triángulos equiláteros.
- Dodecaedro: Tiene 12 caras, que son pentágonos regulares.
- Icosaedro: Tiene 20 caras, que son triángulos equiláteros.
Prismas
Un prisma es un poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas entre sí, llamadas bases, y cuyas caras restantes son paralelogramos.
Elementos de un Prisma
- Arista básica
- Base
- Arista lateral
- Cara lateral
- Altura: Es la distancia entre las bases.
Clases de Prismas
Los prismas se nombran según los polígonos de sus bases. Un caso especial es el:
- Ortoedro: Es un prisma cuyas caras son rectángulos o cuadrados.
Desarrollo y Área de un Prisma
El desarrollo de un prisma consiste en dibujar en un plano sus bases y tantos rectángulos como lados tiene la base.
El área de un prisma se calcula a partir de su desarrollo:
- Área lateral (Al): Es la suma de las áreas de sus caras laterales (rectángulos).
- Área de las bases (Ab): Es la suma de las áreas de las dos bases.
- Área total: Atotal = Al + 2 * Ab
Pirámides
Una pirámide es un poliedro en el que una de sus caras es un polígono cualquiera (la base) y el resto son triángulos que concurren en un punto (vértice de la pirámide).
Elementos de una Pirámide
- Base: Es un polígono cualquiera.
- Caras laterales: Son triángulos que concurren en un punto llamado vértice de la pirámide.
- Aristas básicas y laterales: Son las aristas de la base y de las caras laterales, respectivamente.
- Altura: Es el segmento perpendicular trazado desde el vértice hasta la base.
- Apotema: En una pirámide regular, es la altura de cualquiera de sus caras laterales.
Área de una Pirámide
El área de una pirámide se calcula a partir de su desarrollo:
- Área lateral: Suma de las áreas de los triángulos laterales. Si la pirámide es regular, Al = (Perímetro base * Apotema) / 2
- Área de la base: Área del polígono de la base.
- Área total: Atotal = Al + Ab
SOLO EN EL HEXÁGONO REGULAR SU RADIO Y LADO SON IGUALES.
Volumen de una Pirámide
V = (1/3) * Ab * h
Donde Ab es el área de la base y h es la altura.
Cuerpos de Revolución
Un cuerpo de revolución es un cuerpo obtenido a partir de una figura plana que gira alrededor de un eje.
Cilindro
El cilindro es un cuerpo geométrico engendrado a partir de un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.
- Al = 2 * π * r * g (donde r es el radio y g es la generatriz)
- Ab = π * r2 (área de un círculo)
- Atotal = Al + 2 * Ab
- V = Ab * h (donde h es la altura)
Cono
El cono es un cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos.
- Al = π * r * g (donde r es el radio y g es la generatriz)
- Ab = π * r2 (área de un círculo)
- Atotal = Al + Ab
- V = (1/3) * Ab * h (donde h es la altura)
Se cumple el teorema de Pitágoras: g2 = h2 + r2
Esfera
La esfera es un cuerpo de revolución engendrado por un semicírculo que gira sobre su diámetro.
- A = 4 * π * r2
- V = (4/3) * π * r3