Paralelismo y perpendicularidad de planos en el espacio

b) 2 debe contener a la recta l, entonces, una ecuación vectorial es de la forma: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(−2,−1, 1) + L (a, b, c)
donde (a, b, c) es el segundo vector director para 2, para el cual me sirve cualquier segmento no paralelo a (−2,−1, 1) contenido en 2. Dicho esto, si llamamos A(1, 2, 3), tenemos que el segmento A~P sirve como segundo director. Entonces: AP = p~ −~a = (2, 0, 1) − (1, 2, 3) = (1,−2,−2)
Por lo tanto la ecuación vectorial deL PLANO 2 es
(x, y, z) = (1, 2, 3) + t(−2,−1, 1) + (1,−2,−2)
Igualando por coordenadas:
x = 1 − 2t
y = 2 − t − 2 
z = 3 + t − 2 
Usaremos las dos ecuaciones de abajo para encontrar t y en función de x, y y z:,            Sumando las dos ecuaciones: z + y = 5 − L*4 IMPLICA L = (z + y − 5)/4
Reemplazando en la segunda ecuación y despejando t :
t = −(z − 1 − y)/2
Reemplazando t y en la primera ecuación, desarrollando obtenemos la Ecuación GENERAL DEL plano
2:
4x − 3y + 5z − 13 = 0.

4.7. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD DE PLANOS en el espacio
Definición 4.12. Dos planos se dicen paralelos si estos nunca se intersectan.
Observación 4.15. Que dos planos sean paralelos es equivalente a que sus vectores normales son paralelos.
Ejemplo 4.18 (C0). Determine si los planos representados por las siguientes ecuaciones son paralelos o no:
1 : x + y + z = 1 y 2 : x + y + 2z = 1
Solución: Por la observación (4.14), los vectores
~n = (1, 1, 1) y ~n = (1, 1, 2) son vectores normales para 1 y 2 respectivamente. Como las coordenadas de ~n y ~m
no están en ninguna proposción, entonces no son paralelos. Por lo tanto PLANO 1 y PLANO2 no son planos paralelos.
Definición 4.13. Dos planos se dicen perpendiculares si al intersectarse forman un ángulo de PI/2
Observación 4.16. Esto es equivalente a que sus vectores normales sean perpendiculares.
Ejemplo 4.19 (C1). Determine el valor de a 2 R de modo que los planos de ecuaciones PLANO1 : ax + (a − 1)y + (a − 2)z + 5 = 0 y 2ax + y + az + 7 = 0 sean perpendiculares.
Solución: Tenemos que
~n = (a, a − 1, a − 2) y ~m = (a, 1, a) son vectores normales de 1 y 2 respectivamente. Entonces:
(a, a − 1, a − 2)˙(a, 1, a) = 0 , 2a2 − a − 1 = 0.
Resolviendo la cuadrática obtenemos que los valores de a son:
a1 = 1 y a1 = 1/2
Ejemplo 4.20 (C3). Encuentre la ecuación del plano 1 que pasa por (a, b, c) y es perpendicular a los planos 2 dado por: ax+by+cz = 1 y 3 dado por: x+y+z = abc.
Solución: Si ~ n1 = (p, q, r) es un vector normal de 1, entonces:
(p, q, r) · (a, b, c) = 0 ) pa + qb + rc = 0
(p, q, r) · (1, 1, 1) = 0 ) p + q + c = 0
Primero, tenemos que la ecuación general de 1 es de la forma:
px + qy + rz + d = 0.
Como (a, b, c) pertenece a 1 pa + qb + rc + d = 0.