Operaciones con Polinomios y Probabilidades: Definiciones y Conceptos

Operaciones con Polinomios

Ambas operaciones verifican las siguientes propiedades:

Asociativa: [P(x) + Q(x)] + R(x) = P(x) + [Q(x) + R(x)]
Conmutativa: P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)
Existe elemento neutro: polinomio nulo
Cada polinomio tiene un opuesto
Por ejemplo, dados $P(x) = 2x^5 - 3x^2 + 2x -1$ y $Q(x) = x^4 + 7x^2 + 5x +2$ el resultado de la suma es $P(x) + Q(x) = 2x^5 + x^4 + 4x^2 + 7x + 1$ y el de la resta es $P(x) - Q(x) = 2x^5 - x^4 - 10x^2 - 3x - 3$.

Producto de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro. Es decir, dado un polinomio cualquiera no existe otro que multiplicado por aquél dé 1.

Por último, se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma: $P(x) [Q(x) + R(x)] = P(x)Q(x) + P(x)R(x)$

División de polinomios

Dividir un polinomio $D(x)$ (polinomio dividendo) entre otro polinomio $d(x)$ (polinomio divisor) consiste en hallar otros dos polinomios $c(x)$ (polinomio cociente) y $r(x)$ (polinomio resto) de forma que se verifique que: $D(x) = d(x) . c(x) + r(x)$ Hay que tener en cuenta que el grado de $c(x)$ es igual al grado de $D(x)$ menos el grado de $d(x)$.

El proceso a seguir es el siguiente, con los polinomios dividendo y divisor ordenados de mayor a menor grado:

Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente
Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante
Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial
Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado

Probabilidades: Definiciones y Conceptos

Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas.

Probabilides, Algunas Definiciones

Espacio Muestral.- Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.

Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sello} ó E = {c, s}.

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es
E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6}
ó E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es
E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.

Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}

Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}
2. Obtener un número primo y par B = {2}
3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto
B C =

Eventos Complementarios.- Si A B = y A B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: A^c = B y
B^c = A

Su Medición Matemática o Clásica. Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un evento A es la razón:
P(A) = número de casos favorables para A/número total de casos posibles

A partir de esta definición las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento.

Se deduce de la definición lo siguiente:
0 P(A) 1 La medición probabilística es un número real entre 0 y 1, inclusive, ó 0% P(A) 100% en porcentaje.
P() = 0 y P(E) = 1

Su Medición Experimental o Estadística.- La frecuencia relativa del resultado A de un experimento es la razón
FR = número de veces que ocurre A/número de veces que se realiza el experimento

Si el experimento se repite un número grande de veces, el valor de FR se aproximará a la medición probabilística P del evento A. Por ejemplo, si lanzo 100 veces una moneda, el número de veces que obtengo cara es cercano a 50, o sea FR es cercano a 50%.