Números Enteros y Propiedades Matemáticas
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DEFINICIÓN Nº ENTEROS(Z)
Un número entero es cualquier elemento del conjunto formado por los numeros naturales, sus opuestos (versiones negativas de los naturales) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos, enteros negativos y cero.
Z=Zª- U {0} U Zª+
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera que los numeros naturales son un subconjunto de los enteros: NCZ
Z={.....-3,-2-10,1,2,3.....}
Llamamos numero entero a cualquier solucion de la ecuación X+b=a
El número entero z correspondiente a la clase de equivalencia (a, b) se define como:
• z = 0, si a = b. Por ejemplo: (0,0) (1,1) (3,3)
• z = +(a - b) si a>b, es decir, un número positivo. Por ejemplo (1,0) (2,1) (3,2)… les corresponde el +1
• z = - (b - a) si b>, es decir, un entero negativo. Por ejemplo (0,1) (1,2) (2,3)… les corresponde el opuesto de +1, es decir el -1
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.
Adición de números enteros.
Si representamos +3 por el par (3,0), -3 por (0,3),Y el resultado se calculará sumando las primeras componentes de los dos pares, por un lado, y las segundas por otro ej: [(0,3)] + [(0,2)] = [(0, 3+2)] = [(0,5)], o sea (-3) + (-2)=-5
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN(SUMA) NUMEROS ENTEROS:
PROPIEDAD DE CLAUSURA/DEFINE SUMA: La suma de dos numeros enteros es otro numero entero: Sea Z1 y Z2 numeros enteros y a,b,c y d numeros naturales que cumplen que Z1+b=a y Z2+d=c/ Escribimos Z1 como parte de dos numeros naturales X1(a,b) y hacemos lo mismo con X2=(c,d)/ La suma de estas dos expresiones se definen como (a+c,b+d) y (a+c),(b+d) estan definidas porque son sumas de numeros naturales. Ej: -6,4=-2 (0,6)(4,0) (0+4,6+0)=(4,6)=-2
PROPIEDAD ASOCIATIVA: Sea Z1,Z2 y Z3 numeros enteros y a,b,c,d,e y f numeros naturales que cumplen que: Z1+b=a, Z2+d=c, Z3+f=e/Escribimos Z1,Z2 Y Z3como parte de dos numeros naturales X1=(a,b) X2=(c,d) y X3(e,f) Para demostrarlo sumamos estos tres valores
[(a,b)+(c,d)]+ (e,f) -> (a,c,b+d)+(e,f) -> (a+c+e,b+d+f)-> (a,b)+(c+e,d+f)-> (a,b)+[(c,d)+(e,f)]
PROPIEDAD CONMUTATIVA: Sea Z1 y Z2 numeros enteros y consideramos a,b,c y d números naturales tales que Z1+b=a y Z2+d=c/ X1=(a,b) X2=(c,d) -> (a,b)+(c,d)->(a+c,b+d)=(c+a,d+b)->(c,d)+(a,b)
PROPIEDAD EXITENCIA DE ELEMENTO NEUTRO: Vamos a demostrar que el elemento (0,0) es el neutro aditivo de los numeros enteros. Consideramos Z un numero entero y a,b numeros naturales que cumplen que z+b=a X=(a,b) / (0,0)+(a,b)->(0+a,0+b) como el 0 es el neutro aditivo de los naturales -> 0+a=a y 0+b=b, por tanto (0+a,0+b)=(a,b)
PROPIEDAD DEL ELEMENTO SIMETRICO DE NUMEROS ENTEROS: o de (a,b) será (b,a), porque (a+b , b+a) es un elemento de la clase del (0,0). Al elemento simétrico por la adición de cualquier entero se le llama opuesto. Está claro que el opuesto de +a es –a y al revés y que el elemento neutro (0,0) es el simétrico de sí mismo. El opuesto de a es –a. Sea Z1 un numero entero y a,b numeros naturales que cumplen que z1+b=a escribimos z1 como parte de dos numeros naturales X1=(a,b) y vamos a demostrar que el par de numeros naturales(b,a) es su simetrico. La suma de estas dos expresiones nos tiene que dar un par de numeros naturales que correspondan al 0 (a,b)+(b,a)->(a+b,b+a)->(a+b-(b+a))=0
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN(SUMA) NUMEROS NATURALES:
Clausura: La suma de dos números naturales es otro número natural. Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c)
Commutativa: a+b = b+a
Existencia de elemento neutro: el natural 0; a+0=0+a = a, ∀ a ∈ N
Verdadero o Falso
NUMEROS NATURALES Y ENTEROS
*Todo número natural es entero. V
• Algunos números racionales son enteros.V
• Todo número entero es positivo.F
• Los números naturales se usan para designar la numerosidad de un conjunto. V
• Los números enteros son discretos.V
VALOR ABSOLUTO
a)De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. V -z1 -z2 cumplen que -z2>-z1 le cambiamos el signo a la desigualdad al sacar el valor absoluto z2
b)De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. V
PROBLEMAS
VALOR ABSOLUTO:
-Entre un numero positivo y su opuesto hay 25 numeros¿Cual es el numero positivo? nº+1/2 o numero negativo -nº-1/2
-Cuantos nº hay entre un numero positivo y otro negativo= sumar sus valores absolutos - 1
-Escribe nº como suma de 2 numeros consecutivos= nº-1/2 y lo que me de más su consecutivo
-3 numeros consecutivos nº-3/3
-Problema de termometro subir=bajar - /bajar=subir +
DIVISIBILIDAD
-Hallar dos numeros naturales tales que su suma sea ___ y su MCD__
buscar los divisores del mcd con tabla y encontrar los dos que al sumarse te de lo que te piden
-Hallar dos numeros naturales tales que su suma sea ___ y su MCM__
buscar los multiplos del mcm (su tabla de multiplicar) y busca dos numeros que al sumarse te de lo que te piden-Hallar el menos numero de 4 cifras que divididos por nº,nº y nº da de resto 3 x= numero de cuatro cifras, multiplico los tres numeros que me dan nº*nº*nº =__ y hago la ecuacion x-3=___* nº y lo compruebo con los tres -Numero perfecto= 28/496-Numero abundante= multiplico los tres numeros que me den y saco sus divisores
INDUCCIÓN:
- Sumatorio (n+1)*(n/2)
- Apretones : para saber apretones y = x (x-1)/2 /para saber cuantas personas habian x=(y/x-1)*2
-Ivan el perezoso
2 · (2 · (2 x − 8) − 8) = 8
2 · (4 x − 16 − 8) = 8
2 · (4 x − 24) = 8
8 x − 48 = 8
8 x = 56
x = 56 : 8 = 7