Números Complejos: Definición, Operaciones y Representación Gráfica

Números Complejos: Fundamentos y Operaciones

Los números complejos son expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales. Si a = 0 y b ≠ 0, tenemos un número imaginario puro. Si b = 0, tenemos un número real.

Forma Rectangular

La forma a + bi se denomina forma rectangular, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria.

Igualdad de Números Complejos

Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales e imaginarias son iguales: a + bi = c + di si y solo si a = c y b = d.

Conjugado de un Número Complejo

El conjugado de un número complejo a + bi es el número complejo a - bi. Para obtener el conjugado, se cambia el signo de la parte imaginaria.

Operaciones con Números Complejos

Suma

La suma de dos números complejos a + bi y c + di es: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Se suman las partes reales e imaginarias por separado.

Resta

La resta de dos números complejos a + bi y c + di es: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i.

Multiplicación

La multiplicación de dos números complejos a + bi y c + di es: (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.

División

La división de números complejos requiere multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Representación Gráfica de Números Complejos

Plano Complejo

En el plano complejo, el eje horizontal representa el eje real y el eje vertical representa el eje imaginario. El número complejo a + bi puede representarse en el plano mediante el vector de posición desde el origen al punto P(a, b).

Forma Polar de un Número Complejo

El ángulo formado por el vector OP y el eje real positivo se denomina argumento (θ) o amplitud del número complejo. La longitud r de OP se denomina valor absoluto o módulo de a + bi. El módulo es un número real siempre positivo o cero. Aplicando el teorema de Pitágoras, observamos que la longitud de r es: r = √(a² + b²). Además, tan(θ) = b/a.

Conversiones entre Formas

De Forma Polar a Rectangular

Si un número complejo está escrito en forma polar como z = r(cos(θ) + i sen(θ)), su forma rectangular es z = a + bi, donde a = r cos(θ) y b = r sen(θ).

De Forma Rectangular a Polar

Si un número complejo está en forma rectangular z = a + bi, su forma polar es z = r(cos(θ) + i sen(θ)), donde r = √(a² + b²) y tan(θ) = b/a.

Forma Exponencial

Se utiliza la fórmula de Euler: z = re^iθ = r(cos(θ) + i sen(θ)), donde θ está en radianes.

Multiplicación en Forma Exponencial

Al multiplicar números complejos en forma exponencial, se aplican las propiedades de los exponentes: aⁿ / a^m = a^n-m y (aⁿ)^m = a^n*m. Para elevar un número complejo a una potencia n, se tiene: zⁿ = (re^iθ)ⁿ = rⁿe^inθ.

Relación entre Forma Exponencial y Polar

La relación entre la forma exponencial y polar es: re^iθ = r(cos(θ) + i sen(θ)).

Cuando los números complejos están escritos en forma exponencial, el ángulo θ debe estar en radianes. En cambio, cuando el número complejo está en forma polar, puede estar en grados o radianes.

División en Forma Exponencial

La división de dos números complejos en forma exponencial es: z₁ / z₂ = (r₁e^iθ₁) / (r₂e^iθ₂) = (r₁ / r₂)e^{i(θ₁ - θ₂)}.

Potencias, Raíces y Fórmula de Moivre

Para determinar la potencia de un número complejo dado en forma polar, se sigue el mismo procedimiento que para la forma exponencial.

Fórmula de Moivre

Para cualquier número complejo z = r cis(θ) = re^iθ, se tiene: zⁿ = (re^iθ)ⁿ = rⁿe^inθ o zⁿ = [r(cos(θ) + i sen(θ))]ⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i sen(nθ)).