Movimiento Parabólico y Circular: Conceptos y Ecuaciones Clave

Movimiento Parabólico

Ecuación de la trayectoria:

1. Vx = Vxi = Vi cos(ϑi)
2. X = Xi + VXi(t - to)  Si xi = 0 y ti = 0, entonces X = Vi(cos ϑi)t

Dirección paralela a la aceleración (MRUV):

1. Vy = Vyi - g(t - to) => Vy = Vi sen(ϑi) - gt
2. y = Yi + Vyi(t - to) - 1/2g(t - to)^2 => y = Vi(sen ϑi)t - 1/2gt^2

Retomando las ecuaciones 2 y 4:

• x = Vi(cos ϑi)t
• y = Vi(sen ϑi)t - 1/2gt^2

Despejando t de 3 y reemplazando en 4, obtenemos:

5. Y = (tan ϑi)x - (g / 2(Vi cos ϑ)^2)x^2

Tiempo de altura máxima: A partir de la ecuación 3 y sabiendo que en el punto de altura máxima la velocidad en Y es 0, podemos determinar el tiempo de altura máxima:

6. Th = (Vi sen ϑi) / g

Por la simetría de la trayectoria, el tiempo de vuelo es 2Th:

7. Tv = 2((Vi sen ϑi) / g)

Ecuación de la altura máxima: Reemplazando el tiempo de altura máxima (6) en la ecuación (4), podemos determinar la altura máxima:

h = Vyi.Th - 1/2gTh^2 = (Vi sen ϑi)(Vi sen ϑi) / g - 1/2g((Vi sen ϑi) / g)^2

8. h = (Vi sen ϑi)^2 / 2g

La altura máxima también puede determinarse a partir de la ecuación:

9. Vy^2 - Vyi^2 = 2gy

En el punto de altura máxima, Vy = 0, y = h, Vyi = Vi sen ϑi. A partir de la ecuación 9, llegamos a la ecuación 8.

Ecuación del alcance: Reemplazando el tiempo de vuelo (7) en la ecuación (2), podemos determinar el alcance máximo o rango:

X = Vx.Tv

Tv = 2(Vi sen ϑi) / g

10. R = Vi cos ϑi * 2(Vi sen ϑi) / g => R = Vi^2 sen(2ϑi) / g

Si se triplica la velocidad inicial, se triplica la altura máxima:

Y1 = Vi^2 / 2g

V2 = 3V1

Y2 = V2^2 / 2g = (3V1)^2 / 2g = 9((V1^2) / 2g) = 9Y1

En el movimiento circular uniforme, ¿cómo cambia la aceleración cuando la rapidez aumenta el triple?

V2 = 3V1

aN = v^2 / r = (3v)^2 / r = 9v^2 / r = 9aN1

Caída Libre y Movimiento Parabólico

1. Caída libre: Vi = 0, Vf^2 - Vi^2 = 2gY, Vf^2 = 2gY
2. Parabólico: ϑ = 0, Vox = Vo cos(0) = Vo, Voy = Vo sen(0) = 0, V = √(Vx^2 + Vy^2), Vx = Vox = Vo, Vx^2 = Vo^2, V = √(Vo^2 + 2gy), V^2 = Vo^2 + 2gy, Vy^2 - Voy^2 = 2gy, Vy^2 = 2gy

Movimiento Relativo

Sean dos observadores O y O' que se desplazan uno del otro en MRU:

Relación entre la posición: r = r' + R => r' = r - R

Derivando respecto a t la expresión anterior: dr'/dt = dr/dt - dR/dt => v' = v - vo'

Y derivando nuevamente: dv'/dt = dv/dt - dvo'/dt => a' = a - ao'

Si O' se desplaza respecto de O con un MRU: vo' = cte => ao' = 0

(r' = r - R, v' = v - vo', a' = a) todos con la flecha de vector.

Relativo Circular

r = r' (vector de posición de P respecto del origen común)

v = (dr/dt)O (velocidad de P medida por O)

v' = (dr/dt)O' (velocidad de P medida por O')

Si P está en reposo respecto a O', entonces v' = 0. Pero como O' gira con velocidad angular w respecto a O, entonces P describirá un movimiento circular respecto a O, cumpliéndose que v = w x r.