Modelos Matemáticos en Economía: Aplicaciones y Resolución

Modelos Matemáticos en Economía: Aplicaciones y Resolución

1. Modelo de Mercado de un Bien

Interpretación económica del modelo:

• La primera ecuación modeliza la demanda como una función lineal decreciente del precio, es decir, cuando aumenta el precio, disminuye la demanda. α es el punto de demanda máxima y se obtiene cuando el precio es 0; α/β es el precio máximo admisible, a partir de este no hay demanda.
• La segunda ecuación modeliza la cantidad ofertada como una función lineal creciente del precio, ya que a mayor precio, mayor cantidad ofertada. P=γ/ζ es el precio mínimo admisible, lo marca el productor y a partir de este habrá oferta.
• La tercera ecuación modeliza el equilibrio en el mercado (oferta=demanda), punto en el que se vacía el mercado.

2. Modelo de Mercado de Dos Bienes

• Las ofertas (ecuaciones 2 y 5) se modelizan como funciones lineales crecientes del precio correspondiente, sin que les afecte el precio del otro producto.
• Las ecuaciones 3 y 6 marcan el equilibrio en los mercados, en los que la oferta es igual a la demanda.
• Las ecuaciones 1 y 4 modelizan las demandas como funciones lineales decrecientes del precio del producto correspondiente y lineal creciente del precio del otro producto. Por tanto, si sube el precio de un producto, disminuye su demanda, pero aumenta la demanda del otro producto. Son entonces productos sustitutivos.

3. Modelo de Renta Nacional

• La primera ecuación modeliza el equilibrio keynesiano en el que “Ingresos=Gastos”.
• El consumo se modeliza como la suma de dos cantidades: C₀, que representa el consumo que se produce aunque no hayan ingresos (nivel de emergencia); y por otro lado una parte de los ingresos recogida en “b” que se conoce como “la propensión marginal al consumo”.

4. Modelo IS-LM (I)

• La primera ecuación modeliza el equilibrio de Keynes en el que “I=G”.
• La segunda ecuación modeliza el consumo como la suma de una cantidad C₀ (nivel de emergencia) más un porcentaje de la renta disponible dado por el parámetro c (propensión marginal al consumo).
• La tercera ecuación modeliza la renta disponible como la cantidad que se obtiene al restar a la renta los impuestos y añadir las ayudas del estado.
• La cuarta ecuación modeliza los impuestos como una parte de la renta.
• La quinta ecuación modeliza el ahorro como la parte de la renta disponible no destinada al consumo (1-c), la propensión marginal al ahorro descontando a la cantidad lo del nivel de emergencia.

Resolución de los Modelos

1. Modelo de Mercado de un Bien

• Sustituimos las 2 primeras ecuaciones en la tercera. Eso da P*= (α+γ)/(β+ζ).
• Sustituimos P* en la primera ecuación. Eso da: Q*= (αζ-βγ)/(β+ζ).

2. Modelo de Mercado de Dos Bienes

• Sustituimos (1) y (2) en (3).
• Sustituimos (4) y (5) en (6).
• Llegamos a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: P*₁, Q*₁; P*₂, Q*₂.

Ejemplo en números:

Resolvemos el sistema por matrices. AZ=B. Multiplicamos por la izquierda por A^-1: A^-1· AZ= A^-1· B; Z= A^-1· B.

3. Modelo de Renta Nacional

• Sustituimos la segunda ecuación en la primera. Eso da: Y*= (C₀ + I₀ + G₀)/(1-b); con 0<b<1 y por tanto 1-b es distinto de 0.
• Sustituimos el resultado en la primera ecuación. Resultado de C*= C₀ + b(I₀ + G₀)/(1-b). C* y Y*>0.

4. Modelo IS-LM (I)

• Sustituimos la (4) en la (3): Y_d=(1-t)Y+TR₀ (6).
• Sustituimos (6) en la (2): C= C₀+c((1-t)Y+TR₀) (7ª ec).
• Sustituimos (7) en (1): Y= C₀+c(1-t)Y+cTR₀+I₀+G₀. Eso da: Y*= (C₀+cTR₀+I₀+G₀)/(1-c(1-t)). Con 0<1-c(1-t)<1. T*= t·Y*.
• Sustituimos Y* en la primera ecuación para obtener C*: C*=Y*-(I₀+G₀); C*= C₀+cTR₀+c(1-t)(I₀+G₀)/(1-c(1-t)).
• Sustituimos Y* en (6) y obtenemos Y*_d. Y*_d=(1-t)· (C₀+cTR₀+I₀+G₀)/(1-c(1-t))+TR₀; =(1-t)· (C₀+I₀+G₀)+TR₀/(1-c(1-t)).
• Sustituimos S*.

5. Modelo IS-LM (II)

• Sustituimos (4) en (3) = (6).
• Sustituimos (6) en (2) = (7). HASTA AQUÍ TODO ES IGUAL QUE IS-LM(I).
• Sustituyo (7) y (5) en (1): Y=C₀+c(1-t)Y+cTR₀+I₀-b·i+G₀;Y-c(1-t)Y=-b·i+ [C₀+I₀+G₀+cTR₀]; ¡OJO! [C₀+I₀+G₀+cTR₀] pasa a ser [α₀]; (1-c(1-t))Y=-b·i+ α₀. Como 0<1-c(1-t)<1, 1-c(1-t) es distinto de 0.

Así hallamos el sistema:

• {y= -bi/(1-c(1-t)) + α₀/(1-c(1-t)) CURVA IS.
• {i=1/h·(Ky-M/P) CURVA LM.
• 1ª{y=-b/β₀·i + α₀/β₀.
• 2ª{-kY +hi= -M/P.

Sustituimos 1ª en la 2ª: i*= (K α₀ – M/P · β₀)/(Kb+h·β₀). | Y*= (h·α₀+b·M/P)/ (Kb+h·β₀).

6. Input-Output de Leontief

x₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+a_1nx_n+d₁;

x₂=a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃+a_2nx_n+d₂;

Así sucesivamente.

Lo pasas a forma matricial:

[x₁ x₂ x₃]= [a₁₁ a₁₂ a₁₃

FILA DE BAJO a₂₁ a₂₂ a₂₃

FILA DE BAJO a_n1 a _n2 a_n3]· [x₁ x₂ x_n]+[d₁ d₂ d_n].

X=(I-A)^-1·D.

7. Estática Comparativa

Q*= αδ-βγ/(β+δ). Entonces: ∂Q*/ ∂β= -δ(α+γ)/(β+δ)²<0. Q* respecto de β es función decreciente, por tanto si aumenta (disminuye) β entonces la producción disminuirá (aumentará).

Optimización

Optimización de 1 Variable

Paso 1. Definimos función de beneficios y dominio. B(q) con D_B = [0, ∞).

Paso 2. Puntos críticos: utilizamos la condición de primer orden para calcular los puntos críticos (candidatos a extremos relativos). B’(q)=0 -> q*. Si D_B = [a,b] cerrado y acotado y la función es continua, alcanza máximo y mínimo global en un extremo relativo o un extremo del intervalo.

Paso 3. Clasificamos los puntos críticos utilizando la condición de segundo orden:

• Si B’’(q*) > 0, q* es MÍNIMO RELATIVO.
• Si B’’(q*) < 0, q* es MÁXIMO RELATIVO.

Paso 4. Extremos absolutos:

1. El dominio es un conjunto convexo (los intervalos lo son).
2. Se cumple que:
   • B’’(q)> 0, la función es CONVEXA (cuenco).
   • B´´(q) < 0, la función es CÓNCAVA (campana).
3. El extremo relativo es absoluto.

Optimización de 2 Variables

Paso 1. Obtenemos la función de beneficios y el dominio D_B = [0, ∞) x [0, ∞) porque se hace referencia a cantidades vendidas/producidas y no tiene sentido económico considerar valores negativos.

Paso 2. Calculamos los puntos críticos con la condición de primer orden. (derivada parcial de B/ derivada parcial de Q₁ y después de Q₂) e igualamos a 0 para obtener un punto crítico, q₁* y q₂* (candidato a máximo).

Paso 3. Clasificamos el punto crítico con la condición de segundo orden. Para ello necesitamos la matriz Hessiana de la función de beneficios. HB(q₁, q₂). Det(HB(q₁,q₂)) > 0, dos opciones:

• Primer cuadrante de la matriz Hessiana > 0, (q₁*,q₂*) MÍNIMO RELATIVO.
• Primer cuadrante de la matriz Hessiana < 0, (q₁*,q₂*) MÁXIMO RELATIVO.

Paso 4.

1. El dominio D_B = [0, ∞) x [0, ∞) es un conjunto convexo, es decir, dados dos puntos cualesquiera, el segmento que los une queda contenido dentro del dominio.
2. La matriz Hessiana cumple: det (HB(q₁,q₂) > 0 y dos opciones:
   • ∂²B/∂Q₁² > 0, CONVEXA.
   • ∂²B/∂Q₁² < 0, CÓNCAVA.
3. El extremo relativo (máximo o mínimo) es también absoluto.

“Por tanto, podemos asegurar que por los 3 puntos de la función B es estrictamente (cóncava/convexa) en el D_B y el punto (q₁*,q₂*) = (,) es (máximo/mínimo) absoluto”.