Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones: Jacobi y Mínimos Cuadrados

Método de Jacobi y Mínimos Cuadrados: Soluciones para Sistemas de Ecuaciones

Método de Jacobi

El método de Jacobi es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Es uno de los métodos más simples y se aplica únicamente a sistemas cuadrados, es decir, sistemas con el mismo número de incógnitas que de ecuaciones.

El proceso se describe a continuación:

1. Primero, se determina la ecuación de recurrencia.
2. Segundo, se toma una aproximación inicial para las soluciones, denotada por X₀.
3. Tercero, se itera en un ciclo que actualiza la aproximación hasta que se alcanza un criterio de convergencia.

Método de Mínimos Cuadrados

Consideremos un sistema de ecuaciones Ax = b, donde A es una matriz de tamaño m x n y b es un vector con m componentes. Aunque el sistema no tenga solución exacta, a menudo es útil encontrar un vector x tal que Ax se aproxime lo más posible a b.

Esta aproximación se mide mediante la distancia entre el vector b y el vector resultante Ax, es decir, ||b - Ax||. El vector x que minimiza esta norma se denomina solución por mínimos cuadrados.

Este proceso se repite a continuación para reforzar los conceptos:

Método de Jacobi (Repetición)

El método de Jacobi es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales, aplicable a sistemas cuadrados.

1. Determinación de la ecuación de recurrencia.
2. Aproximación inicial (X₀).
3. Iteración para mejorar la aproximación.

Método de Mínimos Cuadrados (Repetición)

Dado Ax = b (A: matriz m x n, b: vector de m componentes). Se busca x que minimice ||b - Ax||, la solución por mínimos cuadrados.

Método de Jacobi (Repetición 2)

El método de Jacobi: método iterativo, sistemas cuadrados.

1. Ecuación de recurrencia.
2. Aproximación inicial (X₀).
3. Iteración.

Método de Mínimos Cuadrados (Repetición 2)

Ax = b. Minimizar ||b - Ax||: solución por mínimos cuadrados.