Medidas de Centralización y Posición: Media, Mediana, Moda y Cuantiles

Media Aritmética

Es una medida de centralización atendiendo al criterio del tamaño. Se define como el cociente de dividir la suma de todas las observaciones de la población (muestra) entre el tamaño de la misma.

Casos

1. Cuando cada observación x_i aparece una sola vez, es decir, todas las observaciones toman valores distintos, la expresión de la media es Σx_i/n.
2. Si cada observación x_i se repite f_i veces, la media toma la forma Σ(f_i.x_i)/n. Si la variable es cuantitativa discreta, x_i representa los valores que toma la variable y si es cuantitativa continua, representa la marca de clase. También se puede expresar la media aritmética en función de las frecuencias relativas Σ(h_i.x_i).

Mediana

Llamaremos mediana de una distribución de frecuencias al valor que tiene la propiedad de ocupar el centro de la distribución. Es decir, la mediana es el valor que deja a su izquierda el 50% de las observaciones (ordenadas de menor a mayor) y a su derecha el 50% de las observaciones restantes. La denominaremos M_e y su frecuencia absoluta acumulada es F(M_e) = n/2.

Cálculo de la Mediana

Hemos de distinguir entre variables discretas y variables continuas.

Variables Discretas

Si cada observación aparece una sola vez. Es decir f_i = 1, entonces:

• Si n es impar, ordenados los datos de menor a mayor, el valor del término central es la mediana.
• Si n es par, ordenados los datos de menor a mayor hay dos valores centrales y, la mediana es la media aritmética de ambos valores.

Variables Continuas

La mediana estará en el intervalo [l_i, l_i+1) si se verifica que F_i-1 < n/2 < F_i, siendo F_i la frecuencia acumulada de dicho intervalo. El valor de la mediana viene dado entonces por: M_e = l_i + ((n/2 – F_i-1) (l_i+1 – l_i)) / f_i, donde f_i es la frecuencia absoluta de dicho intervalo. La vertical levantada sobre la mediana divide al histograma en dos partes de superficies iguales. Es más recomendable que la media cuando la distribución de frecuencias es muy asimétrica.

Cuantiles

El cuantil p% es una medida de posición caracterizada por tener el p% de las observaciones (ordenadas de menor a mayor) por debajo de dicho valor y el (100 – p)% por encima. Lo representamos por Q_p y su frecuencia absoluta acumulada es F(Q_p) = n p / 100. La mediana sería el cuantil 50, Q₅₀.

Cálculo del Cuantil

Se emplea el mismo procedimiento que para la Mediana, teniendo en cuenta que el porcentaje 50n / 100 = n/2 de la mediana, es ahora n p / 100. Por ejemplo, si la variable estadística es de tipo continuo:

El cuantil Q_p estará en el intervalo [l_i, l_i+1) si se verifica que F_i-1 < np/100 < F_i, siendo F_i la frecuencia acumulada de dicho intervalo. El valor de Q_p viene dado entonces por: Q_p = l_i + ((np/100 – F_i-1) (l_i+1 – l_i)) / f_i donde f_i es la frecuencia absoluta de dicho intervalo.

Clasificación de los Cuantiles

• Cuartiles: Su frecuencia absoluta acumulada es n p / 4 con p = 1, 2 y 3. Se les llama primer cuartil o cuartil inferior, cuartil central o mediana y cuartil superior o tercer cuartil y se representan por Q₁ = Q₂₅, Q₂ = Q₅₀ = Mediana y Q₃ = Q₇₅, respectivamente.
• Deciles: Su frecuencia absoluta acumulada es n p / 10 con p = 1, 2,...,9.
• Percentiles: Su frecuencia absoluta acumulada es n p / 100 con p = 1, 2, 3,.... ,99.

Moda

Se define como el valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta. La denotaremos por M_o. Puede no ser única. Si hay una sola moda la distribución de frecuencias se llama unimodal, si hay dos bimodal, en general plurimodal.

Cálculo de la Moda

Según el tipo de variable estadística se tiene:

Variable Discreta

Es el valor de la variable que se corresponde con la máxima frecuencia absoluta. Si f_i es la mayor frecuencia absoluta, M_o = x_i.

Variable Continua

Si la variable viene agrupada en intervalos de clase, hablaremos de intervalo modal como aquél que se corresponde con la mayor frecuencia absoluta. Consideraremos la moda como la marca de clase de dicho intervalo.