Media Aritmética, Varianza y Coeficientes de Asimetría y Curtosis: Conceptos y Propiedades

Media Aritmética: Definición y Propiedades

La media aritmética es la media o promedio más conocido y utilizado en todos los ámbitos, aunque no es el único ni el más adecuado en todas las ocasiones. La fórmula para calcular la media es:

• \(\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\)
• \(\bar{x} = \sum_{i=1}^{n} x_i f_i\) -- Tablas con frecuencias
• \(\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\) -- Tablas sin frecuencias

La media aritmética coincide con el momento no centrado \(a_1\). Las propiedades de la media aritmética son:

• En ocasiones, se dividen o multiplican los valores de la variable por una constante, \(ex_i\) (cambio de escala). Otras veces se suma o resta una constante a los valores de la variable, \(x_i + c\) (cambio de origen). Si realizamos una o ambas transformaciones sobre la variable original obtendremos una nueva variable, \(y_i = ex_i + c\), cuya media está relacionada con la media de la variable de partida según: \(\bar{y} = e\bar{x} + c\)
• Consideramos \(n\) observaciones agrupadas en \(s\) conjuntos de datos con \(n_1, n_2, \ldots, n_s\) observaciones en cada uno. La media de \(x\) será la suma de la media de cada observación: \(\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{s} x_{ij}\)

Definición de Varianza y Propiedades

La varianza mide la separación de los datos respecto de la media aritmética, por tanto, nos informa sobre la mayor o menor representación de la media. Coincide con el momento centrado de orden 2.

• \(S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 n_i = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 f_i\) -- Tablas con frecuencias
• \(S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\) -- Tablas sin frecuencia

A veces se dividen o multiplican los valores de la variable por una constante, \(ex_i\) (cambio de escala). Otras veces se suma o resta una constante a los valores de la variable, \(x_i + c\) (cambio de origen). Si realizamos una o ambas transformaciones sobre la variable original obtenemos una variable, \(y_i = ex_i + c\), cuya varianza está relacionada con la varianza de la variable de partida según \(S_y^2 = e^2 S_x^2\). Los cambios de origen no afectan al valor de la varianza.

La varianza, además, está expresada en las unidades de los datos al cuadrado por lo que no tiene una interpretación fácil. Para tener una medida de dispersión expresada en las mismas unidades que los datos se define la desviación típica.

Por último, hay que destacar que la varianza nunca puede ser negativa.

Definición e Interpretación de los Coeficientes de Asimetría y Curtosis

El coeficiente de asimetría de Fisher mide si los datos se reparten de igual forma a un lado y otro de su posición central, expresada en este caso mediante la media. Se define a partir del momento centrado de orden 3 como: \(g_1 = \frac{m_3}{S^3}\). Se basa en que en distribuciones de frecuencias simétricas por cada observación a la derecha de la media hay otra igual distancia a la izquierda. El signo de la desviación típica \(S\) es siempre positivo, por tanto el signo \(g_1\) coincide con el signo de \(m_3\), así:

• Si la distribución es simétrica: \(g_1 = 0\)
• Si la distribución es asimétrica a la izquierda: \(g_1 < 0\)
• Si la distribución es asimétrica a la derecha: \(g_1 > 0\)

Al expresarse \(m_3\) y \(S^3\) en las mismas unidades, su cociente es una medida adimensional que podrá utilizarse para comparar la asimetría de distintas distribuciones. Por ser \(g_1\) adimensional no le afecta los cambios de escala, además los cambios de origen no afectan a los momentos centrados, por lo que \(g_1\) es independiente de cambios de origen y escala.

El coeficiente de curtosis (o apuntamiento) de Fisher se utiliza en distribuciones unimodales simétricas o levemente asimétricas para cuantificar la mayor o menor frecuencia de las observaciones en torno a la media. Una mayor frecuencia de observaciones próximas a la media dará lugar a una representación gráfica más apuntada mientras que una menor frecuencia de observaciones próximas a la media dará lugar a una representación más aplanada. La medida de apuntamiento más utilizada es el coeficiente de curtosis de Fisher: \(g_2 = \frac{m_4}{S^4} - 3\). Al igual que el coeficiente de asimetría, es una medida adimensional e independiente de cambios de origen y escala. Si la distribución tiene un apuntamiento normal (mesocúrtica) \(g_2 = 0\). Si la distribución es más aplanada que la curva normal (platicúrtica) \(g_2 < 0\). Si la distribución es más apuntada que la curva normal (leptocúrtica) \(g_2 > 0\).