Maximización con Restricciones: Método de Kuhn-Tucker

Introducción

Para maximizar o minimizar con restricciones se aplican diferentes métodos: multiplicadores de Lagrange, Kuhn-Tucker y programación lineal. Cuando se tienen restricciones de igualdad se aplica el método de Lagrange, mientras que cuando se tienen restricciones de desigualdad se aplican Kuhn-Tucker o programación lineal. La maximización con Kuhn-Tucker se utiliza cuando se tienen soluciones esquina y desigualdades en las restricciones. Además, puede ser aplicada con funciones no lineales. El procedimiento de Kuhn-Tucker se presenta en Chiang (2006) “Métodos Fundamentales de Economía Matemática”.

Condiciones de Kuhn-Tucker

Para una función f(x₁, x₂) sujeta a la restricción a₁x₁ + a₂x₂ ≤ y, el Lagrangiano se define como:

L = f(x₁, x₂) + λ(y - a₁x₁ - a₂x₂)

Las condiciones de Kuhn-Tucker son:

• Para x₁: Si ∂f/∂x₁ = λa₁ entonces x₁ ≥ 0. Si ∂f/∂x₁ < λa₁ entonces x₁ = 0.
• Para x₂: Si ∂f/∂x₂ = λa₂ entonces x₂ ≥ 0. Si ∂f/∂x₂ < λa₂ entonces x₂ = 0.
• Para λ: Si a₁x₁ + a₂x₂ = y entonces λ ≥ 0. Si a₁x₁ + a₂x₂ < y entonces λ = 0.

Una manera equivalente de expresar las condiciones es:

• Para x₁: Si x₁ > 0 entonces ∂f/∂x₁ = λa₁. Si x₁ = 0 entonces ∂f/∂x₁ ≤ λa₁.
• Para x₂: Si x₂ > 0 entonces ∂f/∂x₂ = λa₂. Si x₂ = 0 entonces ∂f/∂x₂ ≤ λa₂.
• Para λ: Si λ > 0 entonces a₁x₁ + a₂x₂ = y. Si λ = 0 entonces a₁x₁ + a₂x₂ ≤ y.

Ejemplos y Aplicaciones

Ejemplo 1: Sustitutos Perfectos

Maximizar u(c₁, c₂) = 4c₁ + c₂ sujeto a 3c₁ + 2c₂ ≤ 100.

Ejemplo 2: Dos Restricciones

Maximizar u(c₁, c₂) = c₁^0.3c₂^0.7 sujeto a 3c₁ + 2c₂ ≤ 10 y c₁ + 5c₂ ≤ 8.

Ejemplo 3: Cambio en las Preferencias

Maximizar u(c₁, c₂) = c₁^0.4c₂^0.6 sujeto a 3c₁ + 2c₂ ≤ 10 y c₁ + 5c₂ ≤ 8.

Ejemplo 4: Mayor Preferencia por el Bien 1

Maximizar u(c₁, c₂) = c₁^0.8c₂^0.2 sujeto a 3c₁ + 2c₂ ≤ 10 y c₁ + 5c₂ ≤ 8.

Conclusión

La restricción del ingreso o del tiempo puede reducir el consumo de los bienes. En la medida que el ingreso sea muy restrictivo no se utilizará todo el tiempo para consumir y en la medida que el tiempo sea muy restrictivo no se utilizará todo el ingreso para consumir.