Matrices, Lógica y Análisis Combinatorio: Fundamentos Esenciales

Matrices: Una matriz es un arreglo rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas, no teniendo un valor numérico por sí mismos. Las matrices se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con minúsculas.

Tipos de Matrices:

• Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos iguales a 0, excepto los de la diagonal principal.
• Matriz Escalar: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos en 0, excepto los de la diagonal principal, que son iguales.
• Matriz Unidad: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos iguales a cero, excepto los de la diagonal principal, que son igual a 1.
• Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos a_ij con i menores que j iguales a 0.
• Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos a_ij mayores que cero.
• Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos simétricos a la diagonal principal.
• Matriz Transpuesta: Es la que tiene intercambiadas las filas por las columnas.

Propiedades:

A + B = B + A (Conmutativa)
A + 0 = A (Elemento Neutro)
A + (B + D) = (A + B) + D (Asociativa)

Lógica Proposicional

Lógica: La lógica es el estudio y el análisis de métodos de razonamiento o argumentación.

• Conjunción: ( ) Es verdadera si y solo si ambos son verdaderos.
• Disyunción: (v) Cuando una o ambas son verdaderas, es verdadero.
• Implicación: P → Q. Se define la proposición P implica a Q como la proposición falsa si y solo si la proposición P es verdadera y Q es falsa.
• Doble Implicación: (↔) Es verdadera si y solo si P y Q tienen el mismo valor de verdad.
• Proposiciones Lógicamente Equivalentes: Dos o más proposiciones son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad.
• Argumento: Es una sucesión de proposiciones llamadas premisas cuyo propósito es la implicación de otra proposición llamada conclusión.
• Tautología: Es una proposición compuesta que es verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. Es decir, siempre es verdadera.
• Argumento Válido: Un argumento es válido si y solo si la conjunción de las premisas lleva a una conclusión.
• Contradicción: Es una proposición compuesta por valores falsos independientemente de los valores de verdad.

Análisis Combinatorio

Análisis Combinatorio:

• N: Elementos de la colección inicial.
• K: Grupo de K elementos, K es mayor o igual a N.
• K₁: Es monoaria.
• K₂: Es binaria.

Arreglos, Permutaciones y Combinaciones

• Arreglo: Es un conjunto de n elementos o variaciones de k (k ≤ n). ( ) Siendo k menor o igual a n, son todas las agrupaciones ordenadas que se puedan formar con k elementos, tales que dos arreglos se consideran distintos. Fórmula general: A^K_N = n(n-1)(n-2)...(n-k+1).
• Permutación: Son todas las agrupaciones ordenadas formadas por los n elementos de la colección inicial. A_N^N = P_N = N!.
• Combinaciones: Las agrupaciones con (k ≤ n) ( ) que se puedan formar de una colección de manera dejando un elemento de combinación inicial. C^k_n = ( ) = n! / (k!(n-k)!).