Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones: Conceptos y propiedades

Matrices: Definición y conceptos fundamentales

Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo.

Igualdad de matrices

Dos matrices, A y B, son iguales si, además de tener la misma dimensión, los términos que ocupan la misma posición son iguales; es decir, si A = B.

Rango de una matriz

El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes que tiene la matriz, considerando las filas o columnas como vectores del espacio vectorial R correspondiente.

Propiedades del rango

1. El número de filas independientes de una matriz es igual al número de columnas independientes.
2. Si la matriz A es de dimensión m x n, entonces rango(A) <= min(m, n).
3. Las matrices de rango 0 son las matrices nulas.

Transformaciones que no modifican el rango

1. Suprimir filas nulas o filas que son combinación lineal de otras.
2. Cambiar el orden de filas o columnas.
3. Multiplicar cualquier fila o columna por un número distinto de 0.
4. Sumar a una fila o columna cualquier otra fila multiplicada por un número.

Cálculo del rango por el método de Gauss

Consiste en triangularizar la matriz (hacer ceros debajo de la diagonal principal) aplicando la propiedad 4 de las transformaciones elementales. El rango será el número de filas no nulas que queden en la matriz triangulizada.

Cálculo del rango por determinantes

Sea A una matriz m x n. Se llama menor de orden k de esa matriz al determinante que se obtiene con los elementos de k columnas y k filas de esa matriz.

Determinantes

El determinante de una matriz cuadrada de orden n es la suma de todos los productos de n elementos de filas y columnas distintas, precedidos del signo más o menos según el índice de la permutación de los subíndices de filas o columnas.

Propiedades inmediatas de los determinantes

1. El determinante de una matriz nula es 0.
2. La matriz unidad tiene determinante 1: |I| = 1.
3. El determinante de una matriz diagonal o de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal.
4. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta: |A| = |A^T|.
5. Si una matriz tiene una fila nula, su determinante es 0.

Matriz inversa

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se llama matriz inversa de A (y se denota A^-1) a una matriz cuadrada de orden n que cumple: A * A^-1 = A^-1 * A = I.

Relación entre matriz inversa, determinante y rango

Existe la inversa de A (A^-1) si y solo si |A| ≠ 0, y esto implica que el rango de A es n.

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea A un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas (Ax = B). El sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes (A) es igual al rango de la matriz ampliada (A* = (A|B)).

Regla de Cramer

Sea Ax = B un sistema de n ecuaciones y n incógnitas tal que |A| ≠ 0. Entonces, el sistema es compatible determinado.